Что-то площадь вышла отрицательная

[Werwolf]

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: $\varphi = 4r - r^3 , \varphi = 0(\varphi \geqslant 0)$. Решение:
$\varphi \geqslant 0$
$4r - r^3 \geqslant 0$
$r(2 - r)(2 + r) \geqslant 0$
$r \in [0; 2]$
$S = \frac 1 2 \int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \rho^2 (\varphi) d\varphi$
$S = \frac 1 2 \int\limits_{0}^{2} r^2 d(4r - r^3) = \frac 1 2 \int\limits_0^2 r^2(4 - 3r^2) dr = \int\limits_0^2 (2r^2 - \frac 3 2 r^4) dr = (\frac 2 3 r^3 - \frac 3 {10} r^5) |_0^2 = \frac {16} {3} - \frac {48} {5} = - \frac {64} {15} < 0$
А как площадь может быть отрицательной? Есть мысль поменять границы интегрирования, но почему? Спасибо.

[Руст]

Werwolf писал(а):

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: $\varphi = 4r - r^3 , \varphi = 0(\varphi \geqslant 0)$. Решение:
$\varphi \geqslant 0$
$4r - r^3 \geqslant 0$
$r(2 - r)(2 + r) \geqslant 0$
$r \in [0; 2]$
$S = \frac 1 2 \int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \rho^2 (\varphi) d\varphi$
$S = \frac 1 2 \int\limits_{0}^{\sqrt{\frac 43}} r^2d(4r - r^3) -\frac 12 \int\limits_{\sqrt{\frac 43 }}^{2} r^2d(4r-r^3) =...$
А как площадь может быть отрицательной? Есть мысль поменять границы интегрирования, но почему? Спасибо.

указал на ошибку.

[Werwolf]

А почему $\sqrt{\frac 43}$? Как именно влияет изменение знака $d\varphi$ на площадь?

[Руст]

В этой точке производная меняет знак. Площадь равна

$$ \int_{r_1(\phi)}^{r_2(\phi)} rd\phi .$$

[Werwolf]

Понял, подумал и вопрос, может
$S = \frac 12 \int\limits_{\sqrt{\frac 43 }}^{2} r^2d(4r-r^3) - \frac 1 2 \int\limits_{0}^{\sqrt{\frac 43}} r^2d(4r - r^3)=...$
Ведь когда $\varphi$спадает, то r больше, чем было при возрастании.