2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определитель матрицы
Сообщение09.06.2009, 13:29 
$$ \left|\begin{array}{cccc} 1+2a_{1} & a_{1}+a_{2} & \ldots\ & a_{1}+a_{n}\\
 a_{2}+a_{1} & 1+2a_{2} & \ldots\ & a_{2}+a_{n}\\
\ldots\ & \ldots\ &\ldots\ &\ldots\\
a_{n}+a_{1} & a_{n}+a_{2}&\ldots\ & 1+2a_{n}
\end{array}\right|$$

Подскажите, пожалуйста, как вычислить определитель этой матрицы!

 
 
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение09.06.2009, 14:00 
(2,2) элемент нарушение закономерности.Вряд ли он в общем виде считается. Через |A| точно не выразить

 
 
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение09.06.2009, 14:11 
Аватара пользователя
$$X= \left(\begin{array}{cccc} a_{1} & a_{2} & \ldots\ & a_{n}\\
 a_{1} & a_{2} & \ldots\ & a_{n}\\
\ldots\ & \ldots\ &\ldots\ &\ldots\\
a_{1} & a_{2}&\ldots\ & a_{n}
\end{array}\right),  \;  Y= \left(\begin{array}{cccc} a_{1} & a_{1} & \ldots\ & a_{1}\\
 a_{2} & a_{2} & \ldots\ & a_{2}\\
\ldots\ & \ldots\ &\ldots\ &\ldots\\
a_{n} & a_{n}&\ldots\ & a_{n}
\end{array}\right),  \; E= \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots\ & 0\\
 0 & 1 & \ldots\ & 0\\
\ldots\ & \ldots\ &\ldots\ &\ldots\\0 & 0&\ldots\ & 1
\end{array}\right)$$
Откуда
$$Det(X+Y+E)=1+2\sum_i a_i +\sum_{i \ne j}a_i(a_j - a_i)$$

 
 
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение10.06.2009, 10:44 
TOTAL в сообщении #220927 писал(а):
Откуда
$$Det(X+Y+E)=1+2\sum_i a_i +\sum_{i \ne j}a_i(a_j - a_i)$$

для n=2 совпало А не поделитесь как Вы считали?

 
 
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение10.06.2009, 11:58 
Аватара пользователя
nn910 в сообщении #221116 писал(а):
для n=2 совпало А не поделитесь как Вы считали?
Подумайте над тем, как можно найти определитель суммы двух матриц.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение10.06.2009, 19:23 
TOTAL в сообщении #221133 писал(а):
Подумайте над тем, как можно найти определитель суммы двух матриц.

Двести лет назад много об этом думали. Загадками говорите.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение10.06.2009, 19:30 
Аватара пользователя
Думаю, имелось в виду то, что определитель суммы трех матриц можно расписать в сумму $3^n$ определителей, используя линейность определителя по каждой строке, а в силу специфики наших матриц большинство этих слагаемых равно 0, а остальные просто считаются (имеют не более одной строки из матрицы $X$, не более одной из $Y$).

 
 
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение10.06.2009, 20:24 
Xaositect в сообщении #221224 писал(а):
Думаю, имелось в виду то, что определитель суммы трех матриц можно расписать в сумму $3^n$ определителей, используя линейность определителя по каждой строке, а в силу специфики наших матриц большинство этих слагаемых равно 0, а остальные просто считаются (имеют не более одной строки из матрицы $X$, не более одной из $Y$).

Спасибо! Помогло прежде всего то что более очевидного решения искать не надо.Теперь решил , с индукцией. Но тот студент не дождался решения, возможно увидел ответ. А решение изобразить много места надо...

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group