Условный экстремум (функция Лагранжа)

[Nimza]

Подскажите, почему в точке условного экстремума некоторой функции функция Лагранжа (построенная по этой функции) имеет просто экстремум? В нескольких книгах написано, что это следует из того, что у них совпадают приращения при условии наличия уравнений связей. Но это ведь лишь в одну сторону: любое приращение самой функции ведёт с такому же приращению функции Лагранжа.

[terminator-II]

Nimza в сообщении #220890 писал(а):

в точке условного экстремума некоторой функции функция Лагранжа (построенная по этой функции) имеет просто экстремум

это не верно

[nn910]

Nimza в сообщении #220890 писал(а):

Подскажите, почему в точке условного экстремума некоторой функции функция Лагранжа (построенная по этой функции) имеет просто экстремум? .

Ф-я Лагранжа не экстремум имеет,а просто критическую точку,те все частные произв. в том числе и по $lamda$,=0. Ну откуда у линейной по $lamda$ функции хоть один локальный зкстремум? С заменой слов "просто экстремум" на "критическую точку" утверждение верно

[Nimza]

Но ведь после построения функции Лагранжа мы ищем обычные экстремумы, которые совпадают с условными у нашей функции, разве не так? (после того как фиксировали $ \[ \lambda \] $)
В.А. Ильин. "Математический анализ": "При наличии связей экстремумы функций (13.40) и Лагранжа совпадают."
И.В.Садовничая. "Функции многих переменных...": "Наличие условного локального экстремума при условиях связи ... у функции ... в точке равносильно наличию (при тех же условиях связи) локального экстремума в этой точке у функции Лагранжа $\[ L(x,y,\lambda _0 ) \] $".

[Gordmit]

Если у функции Лагранжа $L(x,y,\lambda_0)=f(x,y)+\lambda_0 F(x,y)$ имеется локальный экстремум в точке $(x_0,y_0)$ (где $\lambda_0$ - множитель Лагранжа, отвечающий точке $(x_0,y_0)$), то у функции $f(x,y)$ имеется условный локальный экстремум в точке $(x_0,y_0)$ при условии $F(x,y)=0$.

Обратное неверно. Рассмотрите пример: $f(x,y)=x+y$ при условии $xy=1$.

[nn910]

Nimza в сообщении #220895 писал(а):

Но ведь после построения функции Лагранжа мы ищем обычные экстремумы, которые совпадают с условными у нашей функции, разве не так? (после того как фиксировали $ \[ \lambda \] $)
В.А. Ильин. "Математический анализ": "При наличии связей экстремумы функций (13.40) и Лагранжа совпадают."
И.В.Садовничая. "Функции многих переменных...": "Наличие условного локального экстремума при условиях связи ... у функции ... в точке равносильно наличию (при тех же условиях связи) локального экстремума в этой точке у функции Лагранжа $\[ L(x,y,\lambda _0 ) \] $".

Nimza в сообщении #220895 писал(а):

В.А. Ильин. "Математический анализ": "При наличии связей
И.В.Садовничая. "Функции многих переменных...": (при тех же условиях связи) локального экстремума $[/math]".

Классики оговаривают "При наличии связей "(и далее фраза тривиальна) а Вы не оговорили. Невозможен строгий безусловный локальный экстремум функции Лагранжа как функции всех своих переменных

[Gordmit]

Ну, вообще говоря, "при условиях связи" получается, что исследуемая функция и функция Лагранжа - это одно и то же. Бесполезная тавтология какая-то выходит.

[AKM]

Nimza, на Ваш вопрос пытается ответить и Википедия:

Цитата:

Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.

[terminator-II]

формально говоря, метод множителей Лагранжа (этот и все остальные) вытекает из следующего утверждения.
Пусть $f,f_1,...,f_n:L\to \mathbb{R}$ -- линейные функционалы на линейном (не обязательно конечномерном или нормированном) линейном пространстве $L$ над $\mathbb{R}$.
Если $\cap_{1\le k\le n}{\rm ker}\,f_k\subset {\rm ker}\,f$ тогда найдутся числа $\lambda_1,...,\lambda_n$, что $f=\lambda_1f_1+...+\lambda_nf_n$

[Nimza]

Всем спасибо, разобрался!