Задача с ЕГЭ. Алгебра. Трансцендентное уравнение

[Шмель]

Здравствуйте.
Задача из раздела C пробного ЕГЭ. Нелбходимо решить уравнение:
$125*(0,25)^x=(x+1)^3$
Спасибо.

[Dan_Te]

Глядя на графики правой и левой части, становится ясно, что корень один. Можно даже сказать, что он между 1 и 2. А вот как получить его аналитическое выражение, и возможно ли это вообще, не очень понятно.

[maxal]

Вообще-то здесь напрашивается $x=1.5$ и можно доказать, что это единственное решение.

Но раз уж речь зашла о транцендентных уравнениях вида $a\cdot b^y = y^c$ (здесь: $a=500,\ b=0.25,\ c=3,\ y=x+1$), то его можно переписать в виде
$\frac{-\ln b}{c} y \cdot \exp\left( \frac{-\ln b}{c}y\right) = \frac{-\ln b}{c} a^{\frac{1}{c}}$
Решение этого уравнения можно получить через W-функцию Ламберта:
$\frac{-\ln b}{c} y = W\left(\frac{-\ln b}{c} a^{\frac{1}{c}}\right)$
откуда
$y = - \frac{c}{\ln b} W\left(\frac{-\ln b}{c} a^{\frac{1}{c}}\right)$.

[Dan_Te]

Черт
я не смог подобрать корень, подумал, что с условием что-то не так.