Формула простого числа

[Maxim1984]

О ПРОСТОМ ЧИСЛЕ

Обозначения:
$P_i$ - i-ое простое число ($P_1$ = 2, $P_2$ = 3, $P_3$ = 5 и т.д.);
A, B – натуральные числа.

(1) Число Q такое, что:
1. 1 < Q < $P^2_{N+1};
2. Q = |AX – BY|, где (AX, BY) = 1, XY = $P^{a1}_1$P^{a2}_2$$P^{a3}_3$…$P^{aN}_N$, a1, a2, a3, …,aN > 0 является простым. Доказательство: предположим, что число Q составное, следовательно, оно должно иметь, по крайней мере, один простой делитель $P_i$, принадлежащий промежутку (0, $P_N$]. В этом случае $P_i$|AX – BY, но $P_i$ обязательно будет делить X или Y. Если $P_i$|X, следовательно, $P_i$|AX, откуда $P_i$|BY, а значит (AX, BY) > 1, что противоречит условию. Если $P_i$|Y, следовательно, $P_i$|BY, откуда $P_i$|AX, а значит (AX, BY) > 1, что противоречит условию. Следовательно, если 1 < Q < $P^2_N+1$, то Q – простое число. ■

(2) Число Q > $P_N$
Доказательство: действительно, если число Q ≤ $P_N$, следовательно, оно равно некоторому простому числу, принадлежащему промежутку (0, $P_N$], что невозможно, т.к. число Q не делится ни на одно простое число, принадлежащее промежутку (0, $P_N$]. ■

(3) Если $Q_1$|$A_2$ или $Q_1$|$B_2$, то $Q_2$ ≠ $Q_1$
Доказательство: если $Q_2$ = $Q_1$, тогда $Q_1$|$B_2$Y или $Q_1$|$A_2$X, откуда ($A_2$X, $B_2$Y) > 1, что противоречит условию. ■

Пример:
$P_1$ = 2, $P_2$ = 3, $P_3$ = 5, $P^2_4$ = 49
$Q_1$ = |2 – 3∙5| = |2 – 15| = 13
$Q_2$ = |$2^2$ – 3∙5| = |4 – 15| = 11
$Q_3$ = |$2^2$ – $3^2$∙5| = |4 – 45| = 41
$Q_4$ = |$2^3$ – 3∙5| = |8 – 15| = 7
$Q_5$ = |$2^3$ – $3^2$∙5| = |8 – 45| = 37
$Q_6$ = |$2^4$ – $3^2$∙5| = |16 – 45| = 29
$Q_7$ = |$2^5$ – 3∙5| = |32 – 15| = 17
$Q_8$ = |$2^5$ – 3∙$5^2$| = |32 – 75| = 43
$Q_9$ = |$2^6$ – $3^2$∙5| = |64 – 45| = 19
$Q_{10}$ = |$2^8$ – $3^2$∙$5^2$| = |256 – 225| = 31
$Q_{11}$ = |3 – 2∙$5^2$| = |3 – 50| = 47
$Q_{12}$ = |$3^3$ – 2∙$5^2$| = |27 – 50| = 23

(4) Если Q = $2^s$ – Y, где X = $2^s$, A = B = 1, число Y содержит как минимум 2 разных простых делителя (3, 5, …), число $2^{s-1}$ – 1 простое, тогда число Q – 2 также будет простым.
Доказательство:
$2^s$ > Y, Q – 2 = 2($2^{s-1}$ – 1) – Y, если Q – 2 составное, тогда оно делится, по крайней мере, на один простой делитель числа Y, значит $2^{s-1}$ – 1 равно некоторому простому делителю числа Y, значит Q – 2 < 0, что невозможно. ■

[Коровьев]

Это настолько же верно, насколько и тривиально.
Гораздо интереснее менее заметный факт.
В примере $Q$ пробегает все простые числа больше $5$, но меньше $49$ без повторения.
Так ли на самом деле для других наборов и сочетаний простых чисел?
Т.е., при $Q<P^2_{N+1}$
Попробуйте доказать.
p.s. Название темы неплохо бы и сменить. "Формулой" тут и не пахнет. Скорее - "Теорема о простых числах".
Если..., то...

[Бодигрим]

Кстати, респект и уважуха автору - я очень редко вижу в "Дискуссионном разделе" сообщения, которые можно назвать осмысленным математическим текстом.

[Maxim1984]

Всякое простое число можно представить в виде числа Q. Это вытекает из того, что уравнение CZ + DW = E при фиксированных целых числах C, D, E всегда имеет решение в целых числах Z и W. Кому не понятно я не виноват. Почитайте Гельфонда.

-- Пн июн 08, 2009 18:55:13 --

При условии конечно, что (C, D) = 1

-- Пн июн 08, 2009 18:59:35 --

Т.е. другими словами при фиксированных X и Y всегда найдутся такие числа A и B, при которых Q < $P^2_{N+1}$

[age]

Maxim1984
$2^6-3^2\cdot5^2=7\cdot23$
$2^5-3\cdot5^3=7^3$
Первая формула - разность квадратов, никогда не будет простым числом, если $AP_1-BP_2\neq 1$.

[venco]

Условие 1 в (1) - важно.

[age]

venco
$|2\cdot5^2-11\cdot7|=3^3$

-- Чт июн 25, 2009 22:39:46 --

Указанная закономерность справедлива только для чисел $2, 3, 5$ в промежутке $7 ... 49$.

[venco]

age в сообщении #224852 писал(а):

venco
$|2\cdot5^2-11\cdot7|=3^3$

В формуле должны быть все простые числа (условие 2 в (1)).
Например, если используете набор $(2,3,5)$, то все получившиеся числа меньше $7^2$ - простые.
Если используете набор $(2,3,5,7,11)$, то все получившиеся числа меньше $13^2$ - простые.

[age]

venco
Весь набор. Тогда согласен абсолютно. Т.е. для формирования набора до $17^2$ потребуются все простые числа $2, 3, 5, 7, 11, 13$. И т.д.
Гораздо интереснее другое. Верно ли что для любого последовательного набора простых чисел $p_i p_j =(2, 3, 5,..., N)$, $p_i\neq p_j$ справедливо, что любое:
$\left(\prod\limits_{p_i<N} p_i^{m_i}-\prod\limits_{p_j<N} p_j^{n_j}\right)<(N^2+2N)$ - будет простое число?
Я сам давно хотел найти такую формулу. Но как-то все не выходило. А у автора вот, получилось. Но у меня подход был неверный.

То, что оба произведения будут взаимно простыми числами - тривиальный факт, т.к. в каждое из них входят разные простые множители.