гильбертовость пространства

[g-a-m-m-a]

Является ли пространство непрерывных на отрезке $\mathbb C[0,\,1]$ функций гильбертовым пространством, если скалярное произведение задается следующим образом:

$$(f,\,g)=\int\limits_{0}^{1}f(x)g(x)dx?$$

Собственно интересует будет ли это пространство полным?

[vlad239]

Там есть замечательный линейный функционал, не представимый в понятно каком виде. Дельта-функция называется.

Влад.

[Полосин]

Получите противоречие, приблизив разрывную функцию непрерывными в интегральной метрике.

[g-a-m-m-a]

Спасибо))
Еще такая задача:
доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на $[0,\,1]$ функций $x(t)$ таких, что

$$|x(0)|\leqslant K_1,\quad \int\limits_{0}^{1}|x'(t)|^2dt\leqslant K_2,$$

где $K_1,\,K_2>0-$постоянные, компактно в пространстве $\mathbb C[0,\,1].$

[Полосин]

Воспользуйтесь представлением $x(t)=x(0)+\int\limits_0^tx'(s)ds$ и теоремой Арцела.

[g-a-m-m-a]

так теорема Арцела только для доказательства предкомпактности годится

[Полосин]

Подумайте.

[g-a-m-m-a]

что-то полнота никак у меня не доказывается((

-- Пн июн 08, 2009 00:02:09 --

понятно, как доказывать непрерывность получающейся функции в пределе и все..

[ewert]

А замкнутости и не будет. Хотя бы потому, что на функции наложено явно избыточное требование непрерывной дифференцируемости. Потому и контрпример очевиден: скажем, сдвинутый модуль явно принадлежит замыканию этого множества, но не ему самому.

Впрочем, даже если бы дифференцируемость понималась в обобщённом смысле -- замкнутости тоже не было бы, но уже по более деликатной причине: образ компактного оператора в нетривиальном случае в принципе не может быть замкнут.

[g-a-m-m-a]

ewert, хм.. поясните, пожалуйста, что-то как-то странно все это..
Полосин, что же вы все таки имели в виду?

[Полосин]

ewert уже все сказал.

[terminator-II]

а вот аналогичное утверждение в случае функции двух переменных уже не прокатывает, впрочем топикстартеру ,кажется не до этого

[ewert]

g-a-m-m-a в сообщении #220763 писал(а):

ewert, хм.. поясните, пожалуйста, что-то как-то странно все это..

Тут явно наблюдается очередное свободное плавание терминологий.

Оператор называется компактным, если для него образ любого ограниченного множества предкомпактен.

(В данном случае под оператором понимается естественное вложение из пространства с метрикой $W_2^1$ -- а у Вас фактически метрика именно та -- в пространство $C.$)

Далее -- могут быть варианты.

1). Авторы задачки под "компактностью" множеств фактически понимают их предкомпактность, а собственно компактность обзывают, ну например, "компактностью в себе". Такая терминология вполне себе встречается.

2). Авторы вообще ни о чём не думали, а просто зазивалися. Т.е. в уме (по мере сочинения задачки) держали компактность оператора, на выходе же вдруг нечаянно выдали компактность образа.