решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

[Obsa]

Помогите решить уравнение $\Delta u=0$ с условиями: $u|_{y=0}=\frac 1 {1+x^2}$ $y>0$

Исправил незаслуженно искажённую фамилию. AKM

[Полосин]

Во-первых, не Дирехле, а Дирихле. Во-вторых, откройте учебник, например, Тихонов, Самарский, "Уравнения математической физики".

[nn910]

В выражение $Re(1/(1+z^2))$ сделайте подстановку $ z=x+iy$ Это ответ. Обоснование в начале любого учебника ТФКП

[Obsa]

в тфкп нашёл нужное, помогите теперь разобраться с неоднородным уравнением Лапласа
Нужно доказать, что решение для $\Delta u=0$, $u|_{|x|=R}=u_0(x)$, будет иметь вид $u(x)=\frac 1 {4 \pi R} \int_{|y|=R}{} \frac {r^2-|x|^2} {|x-y|^2} u_o(y)dS_y, $|x|<R$

[V.V.]

Obsa в сообщении #220381 писал(а):

Помогите решить уравнение $\Delta u=0$ с условиями: $u|_{y=0}=\frac 1 {1+x^2}$ $y>0$

http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/pde/pde.pdf

Стр.34

[Obsa]

V.V. в сообщении #220458 писал(а):

Obsa в сообщении #220381 писал(а):

Помогите решить уравнение $\Delta u=0$ с условиями: $u|_{y=0}=\frac 1 {1+x^2}$ $y>0$

http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/pde/pde.pdf

Стр.34

спасибо, очень полезная статья

[CowboyHugges]

Obsa в сообщении #220449 писал(а):

Нужно доказать, что решение для $\Delta u=0$, $u|_{|x|=R}=u_0(x)$, будет иметь вид $u(x)=\frac 1 {4 \pi R} \int_{|y|=R}{} \frac {r^2-|x|^2} {|x-y|^2} u_o(y)dS_y, $|x|<R$

За Вас это уже сделал Пуассон Стройте функцию Грина с помощью инверсии, применяйте формулу $u(x)=-\frac{1}{4\pi} \int_{S_R(0)}f(x) \frac {\partial G(x,x_0)}{\partial n}dS$

[Obsa]

да только есть проблема, мне нужно доказать её без помощи формулы Грина

[CowboyHugges]

Obsa, какие изыски Ну тогда попробуйте через фундаментальное решение оператора Лапласа

[Полосин]

Или убедитесь непосредственно.

[Obsa]

CowboyHugges в сообщении #220479 писал(а):

Obsa, какие изыски Ну тогда попробуйте через фундаментальное решение оператора Лапласа

это как? не вижу что-то связи