Интеграл Пуассона (площадь многомерной сферы).

[Draeden]

Какой самый простой способ найти площадь многомерной сферы ?
Вроде как этот способ состоит в хитром вычислении интеграла Пуассона:

$$\int_{R} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$

$$\int_{R^m}e^{-(x,x)}dx=\sqrt{\pi}^m=...$$

Дальше идёт какое то простое преобразование где переходят к интегрированию по радиусу $r=|x|$ и получают ответ. Никак не могу понять как это сделано...

[Полосин]

Самый простой способ заключается в том, чтобы взять производную по радиусу от объема шара соответствующей размерности. Объем шара легко считается через многомерные сферические координаты, см., например, задачник Демидовича. Если нужно, могу привести все необходимые формулы.

[RIP]

Draeden в сообщении #219911 писал(а):

Дальше идёт какое то простое преобразование где переходят к интегрированию по радиусу $r=|x|$ и получают ответ.

Преобразование такое:

$$\int_{\mathbb R^m}\ldots\,dx=\int_0^\infty\int_{|x|=r}\ldots\,dSdr,$$

где внутренний интеграл --- это поверхностный интеграл какого-то там рода по сфере $|x|=r$. Поскольку подынтегральная функция зависит только от $r$, то внутренний интеграл есть просто соответствующее кратное ((m-1)-мерного) объёма сферы.

[ewert]

Draeden в сообщении #219911 писал(а):

$$\int_{R^m}e^{-(x,x)}dx=\sqrt{\pi}^m=...$$

Дальше идёт какое то простое преобразование где переходят к интегрированию по радиусу $r=|x|$ и получают ответ. Никак не могу понять как это сделано...

$$\int_{R^m}e^{-(\vec x,\vec x)}d\vec x=S_{m-1}\int_0^{\infty}e^{-r^2}r^{m-1}dr=S_{m-1}\cdot{1\over2}\int_0^{\infty}e^{-t}t^{{m\over2}-1}dt={1\over2}S_{m-1}\Gamma\left({m\over2}\right).$$