Композиция двух отношений

[Mixo123]

Здравствуйте!
Есть отношение $R=\{(1,7), (4,6), (5,6), (2,8)\}$ и отношение $S = \{(6,10), (6,11), (7,10), (8,13)\}$.
Надо найти $R^{-1} \circ S^{-1}$ (композиция отношений, обратных R и S).

Сперва находим обратные данным отношения: $R^{-1}=\{(7,1), (6,4), (6,5), (8,2)\}, S^{-1}=\{(10,6), (11,6), (10,7), (13,8)\}$.
Затем пытаемся найти саму композицию, и вроде как получаем пустое отношение.

Однако же посмотрев в ответнике, который у книги сзади, моему взору предстало совершенно иное решение: $R^{-1} \circ S^{-1}=\{(10,4), (10,5), (11,4), (11,5), (10,1), (13,2)\}$...
Я бы мог предположить, что это "опечатка" в книге, но дело в том, что в последующих двух-трёх задачах были точно такие же непонятки с ответами.
Мне показалось, что в данном случае в ответнике гордо весит ответ на ${(R \circ S)}^{-1}$, а не на $R^{-1} \circ S^{-1}$?

А в последующих задачах результаты были такими, что складывалось впечатление, что композиция - операция, обладающая коммутативностью, но ведь это не так, верно?

Помогите, пожалуйста, разобраться, в чём я ошибся.

з.ы.: кстати, в здешнем TeX'е есть символ пустого множества? Или не иначе, как $\phi$ приходится применять?

[Бодигрим]

Mixo123 в сообщении #219334 писал(а):

кстати, в здешнем TeX'е есть символ пустого множества?

\varnothing: $\varnothing$

-- 11:57 03.06.2009 --

А в вашей книге композиция - в каком порядке применяется? Похоже, что преполагается $(A\circ B)(x,y,z)=xByAz$, а не $(A\circ B)(x,y,z)=xAyBz$.

[Xaositect]

Ну это общепринятое определение
$x (R\circ S) y \equiv \exists z (x S z\& z R y)$

-- Ср июн 03, 2009 12:59:07 --

Mixo123 в сообщении #219365 писал(а):

А тут ещё и определения разные бывают? О_о

Лично я других не встречал.
Ну а если определение такое, то я не понимаю, что Вам непонятно.
Вот, скажем, $(10,4)\in R^{-1}\circ S^{-1}$, потому что $(10,6)\in S^{-1}$ и $(6,4)\in R^{-1}$.

А насчет коммутативности - все верно, коммутативности нет.

[Mixo123]

Бодигрим, спасибо за значок.
Xaositect, и правда "Невнимательность - штука убийственная".
Там действительно обратный порядок.

-- Ср июн 03, 2009 14:03:26 --

Угу, увидел. Надо всё-таки каникулами пользоваться как положено, отдыхая.
Многократно извиняюсь за невнимательность.

-- Ср июн 03, 2009 15:58:09 --

Кстати, чисто любопытства ради позвольте спросить, а не получается ли, что $R^* = R \cup (R \circ R)$, где $R^*$ - замыкание по транзитивности, а $R$ - само отношение? Понимаю, что скорее всего нет, но спросить охота.

[BVR]

Mixo123
Только если R на R на R равно R
$R\circ R$ получается, а $R\circ R\circ R$ (три раза) не получается

[Mixo123]

BVR, в общем-то я ожидал, что ошибусь.
Ладно, всем спасибо за ответы и за то, что помогли найти столь оплошную невнимательность.

[BVR]

получилось...

[Xaositect]

$R^{*} = \bigcup\limits_{i\in\mathbb{N}} R^i$

[Mixo123]

Xaositect, красота.