Видимо отрезок, которым разделили треугольник на треугольник и (вообще говоря, четтырёхугольник) считать составляющим слагаемым в периметрах не следует.
Тогда на любых двух сторонах с длинами

и

от их общей вершины

откладываем отрезки

и

. Из требуемых равенств получаем систему уравнений:
которая сводится к квадратному уравнению и, вообще говоря, может не иметь решений. А если и есть, то требуется ещё проверить неравенства
Всего у нас три такие системы.
Надеятся на то, что искомый разделяющий отрезок будет исходить из вершины бесполезно, ибо любого из условий (разделение пополам площади либо периметра) достаточно, чтобы однозначно найти этот разделяющий отрезок, исходящий из произвольно выбранной вершины.
ЗЫ. Откуда такая корявая задача?