Решить задачу Коши операционным методом.

[Ворон]

Здравствуйте.

Решить задачу Коши операционным методом:
$ y'' + y' + y = \left\{ \begin{array}{l} 7e^{2t} , 0 \leqslant t <3\\ 2 , t \geqslant 3 \end{array} \right. $
$y(0)=1$
$y'(0)=4$

Решение.
$y(t) \gets Y(p)$
$y'(t) \gets pY(p)-y(0)=pY(p)-1$
$y''(p) \gets p^2Y(p)-py(0)-y'(0)=p^2Y(p) - p -4$

$f(t) =7e^{2t} \cdot \sigma (t) - 7e^{2t} \cdot \sigma (t-3) + 2 \cdot \sigma (t-3)$
$F(p)=\frac{7}{p-2}-???+\frac{2e^{-3p}}{p}$
....

Подскажите, пожалуйста, как найти изображение от: $7e^{2t} \cdot \sigma (t-3)$
Зарание спасибо.

[ewert]

Под "сигмой" (что за удивительное обозначение) подразумевалась, надо полагать, "хи" или на худой конец "тета"; на совсем уж худой -- "дельта с ноликом".

Очень просто найти: оригинал -- это сдвинутая на тройку вправо функция $7e^{2(t+3)}.$ Вот и воспользуйтесь теоремой запаздывания.

[Ворон]

Спасибо, тогда изображение равно: $\frac{7e^6}{p-2} \cdot e^{-3p}$ ?

Т.к. $7e^{2t} = 7e^{(2(t-3)+6)}=7e^6 \cdot e^2(t-3)$

Что касается "сигмы", то у нас так обозначают функцию Хевисайда.. Такчто даже не знаю

[Утундрий]

Я, кстати, привык "этой" обозначать ) Так что "на вкус и цвет..."

[Ворон]

Ещё раз здравствуйте. Вот ломаю голову над очередной задачей

$y''-y' = \left\{ \begin{array}{l} t^2 , 0 \leqslant t \leqslant 1\\ 1 , t>1 \end{array} \right.$

$y(0)=0, y'(0)=1$

Решение.
$f(t)= t^2 \sigma (t) - t^2 \sigma (t-1) + \sigma(t-1)$

$F(p)= \frac{2}{p^3} - ??? + \frac{e^{-p}}{p}$

Я вот не могу понять как найти изображение от $t^2 \sigma (t-1)$ ??

Зарание спасибо.