Решить задачу Коши операционным методом...

[eu11]

Условие:

$$y''-2y'+5y=e^{t}sin2t$$

$$y(0)=1$$

$$y'(0)=0$$

Решение:

$$y(t) \gets\ Y(p)$$

$$y'(t) \gets\ pY(p)-y(0)=pY(p)-1$$

$$y

$$e^{t}sin2t \gets\ \frac{2}{(p-1)^{2}+4}$$

Изображение задачи:

$$p^{2}Y(p)-p-2(pY(p)-1)+5Y(p)=\frac{2}{(p-1)^{2}+4}$$

Тогда:

$$Y(p)=\frac{2}{((p-1)^{2}+4)^{2}}+\frac{p-2}{(p-1)^2+4}$$

Вопрос: Что теперь делать с этими дробями? Пробовал разными способами с ними ковыряться,но так и не решил...

[ewert]

Для начала -- сделать замену $p-1=q.$ Со второй дробью всё ясно, а первую ($4/(q^2+4)^2$) восстановить, скажем, как свёртку синуса с синусом. Ну или продифференцировать $q/(q^2+4)$ по $q$ и выковырять из того, что получится то, что нужно.

[eu11]

А можно так сделать?:

$$\frac{2}{((p-1)^{2}+4)^{2}}=\frac{2}{((p-1)^{2}+4)}*\frac{2}{((p-1)^{2}+4)}*\frac{1}{2}$$

Тогда здесь первая дробь по табличному значению преобразуется,и это будет:$e^{t}sin2t$,а вторая с учетом коэффицента:$\frac{1}{2}e^{t}sin2t$
Далее:

$$\frac{p-2}{((p-1)^{2}+4)}=\frac{p-1}{((p-1)^{2}+4)}-\frac{4}{((p-1)^{2}+4)}*\frac{1}{4}$$

Тогда здесь первая дробь тоже по таблице:$e^{t}cos2t$,а вторая соответственно:$-\frac{1}{4}e^{t}sin2t$
В итоге:$y(t)=e^{t}cos2t+\frac{5}{4}e^{t}sin2t$

[ewert]

eu11 в сообщении #218502 писал(а):

Тогда здесь первая дробь по табличному значению преобразуется,и это будет:$e^{t}sin2t$,а вторая с учетом коэффицента:$\frac{1}{2}e^{t}sin2t$

Ну а теперь считайте их свёртку.

eu11 в сообщении #218502 писал(а):

,а вторая соответственно:$-\frac{1}{4}e^{t}sin2t$

Только почему одна четвёртая-то?