Равномерная непрерывность функции

[Yager]

Надо исследовать на равномерную непрерывность
$f(x,y)=arcsin\frac{y}{x}$.

Делать, вероятно, надо прямо по определению, но у меня проблема с оценкой сверху

[valiko]

Функция НЕ равномерно непрерывная. По определению отсутствия равномерной непрерывности:
$\exists \ \varepsilon > 0 \ \ \forall \delta > 0 \ \ \exists M, M_{0}\in E \ \ \ \rho(M, M_{0}) < \delta \Rightarrow |f(M)-f(M_{0})|>\varepsilon$
Возьмем $\varepsilon=\frac{1}{10}, \ M_{0}(\delta, 0), M(\delta, \frac{\delta}{2})$
Очевидно, $\rho(M, M_{0})<\delta$
$|f(M)-f(M_{0})| = |arcsin(0)-arcsin(\frac{1}{2})| = \frac{\pi}{3} > \frac{1}{10}$

[Yager]

благодарю!