Борелевские множества

[inf76]

У Колмогорова и Фомина написано: «Множества, принадлежащие σ-алгебре, порожденной всеми открытыми и замкнутыми подмножествами пространства R, называются борелевскими множествами.» (седьмое издание стр. 69).

Но, σ-алгебра это семейство замкнутое относительно счётного объединения, содержащее пустое множество и дополнение каждого элемента семейства относительно объединения всех элементов семейства.
Правильно ли, что слово «замкнутыми» можно изъять из определения борелевских множеств?
Т. е. что множества, принадлежащие σ-алгебре, порожденной всеми открытыми подмножествами пространства R, называются борелевскими множествами.

[ewert]

Поскольку "замкнутые" суть дополнения до "открытых", то (по определению сигма-алгебры, которая по определению замкнута относительно операции дополнения) -- можно.

Только всё это ловля блох.

[Brukvalub]

Да, это - верное утверждение.

[inf76]

Спасибо.

ewert в сообщении #218153 писал(а):

Только всё это ловля блох.

Что такое "ловля блох"? То, что мне хотелось узреть это минимальную систему множеств, порождающую борелевские множества. Как я понимаю, минимальная система множеств, порождающая борелевские множества это минимальная база (уберешь одно множество и уже не база) некоторой топологии.

[ewert]

Имелось в виду, что определение не обязано быть минимальным. Т.е. эстетически-то это желательно, но иногда для пущей внятности можно чего и продублировать.

[inf76]

Ещё раз: Спасибо!!

[Brukvalub]

inf76 в сообщении #218161 писал(а):

Как я понимаю, минимальная система множеств, порождающая борелевские множества это минимальная база (уберешь одно множество и уже не база) некоторой топологии.

А такие - бывают?

[inf76]

В конечных случаях, конечно бывают. Рассмотрим конечное множество. Совокупность всех его единичных подмножеств – база дискретной топологии. Уберите одно единичное множество.

[Brukvalub]

inf76 в сообщении #218171 писал(а):

В конечных случаях, конечно бывают. Рассмотрим конечное множество. Совокупность всех его единичных подмножеств – база дискретной топологии. Уберите одно единичное множество.

Вы на минуточку забыли, что речь шла о БОРЕЛЕВСКИХ множествах на прямой, или искренне верите, что прямая содержит лишь конечное число точек?

[inf76]

Brukvalub в сообщении #218172 писал(а):

inf76 в сообщении #218171 писал(а):

В конечных случаях, конечно бывают. Рассмотрим конечное множество. Совокупность всех его единичных подмножеств – база дискретной топологии. Уберите одно единичное множество.

Вы на минуточку забыли, что речь шла о БОРЕЛЕВСКИХ множествах на прямой, или искренне верите, что прямая содержит лишь конечное число точек?

Вы правы. Но тогда ещё вопрос: согласно выше приведенному определению, борелевские множества определены на прямой, а есть ли аналог для любых топологических пространств?

[Brukvalub]

Есть полный аналог, см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D0%B3%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0

[inf76]

Спасибо.