как доказать, что sin5 - иррациональное число!

[Povitek]

Как доказать, что $\sin 5^\circ$-иррациональное число!!!

[mkot]

Может быть поможет теорема Линдемана?
(Смотрите, например, добавление к Алгебре Ленга.)

[AD]

В радианах? Или в градусах? Во втором случае, наверное, получится что-нибудь алгебраическое, и удастся свести к простым фактам типа иррациональности $\sqrt{2}$.

[ShMaxG]

AD

Не получится, уже как-то этот вопрос исследовал. Вообще, синусы и косинусы с целыми аргументами (в градусах) можно алгебраически выразить только если аргумент кратен тройке.
Иначе - только через выражения, содержащие мнимую единицу.

-- Сб май 30, 2009 00:19:24 --

Если аргумент у автора в градусах, то задачу можно свести к

$$ \sin 15^ \circ $$

, что является рациональным числом, если

$$ \sin 5^ \circ $$

является рациональным числом, но

$$ \sin 15^ \circ = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} {2} $$

...

[ИСН]

ShMaxG, Вы имели в виду "выразить квадратными корнями". Алгебраически-то можно всегда (в смысле: "видишь многочлен? вот возьми его корень"). Доказав, что у многочлена нет рациональных корней (это вроде как-то просто делается), таки получим, что да - значит, иррациональный.
---
Это всё если градусы. Если радианы, то да, из теоремы Линдемана right away.

[Povitek]

Я имел в виду sin 5 (синус пяти градусов)!
Доказать, что синус пяти градусов - иррациональное число!!!!!!

[Sonic86]

Ну вам же ИСН уже написал, и ShMaxG.
Найдите минимальный многочлен для $\sin 5^0$, $5^0=\frac{\pi}{36}$.

[Cute]

Povitek в сообщении #218139 писал(а):

Как доказать, что $sin 5$-иррациональное число!!!

Доказательство.

Пусть $x = \sin 5^\circ $. Тогда $\cos 10^\circ = \cos \left( {2 \cdot 5^\circ } \right) = 1 - 2\sin ^2 5^\circ = 1 - 2x^2 $;
$\cos 30^\circ = \cos \left( {3 \cdot 10^\circ } \right) = 4\cos ^3 10^\circ - 3\cos 10^\circ = 4\left( {1 - 2x^2 } \right)^3 - 3\left( {1 - 2x^2 } \right)$.

Но
$\cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }} {2}$. Следовательно, $4\left( {1 - 2x^2 } \right)^3 - 3\left( {1 - 2x^2 } \right) = \frac{{\sqrt 3 }} {2}$. Отсюда, $\sqrt 3 = 8\left( {1 - 2x^2 } \right)^3 - 6\left( {1 - 2x^2 } \right),\;\left( * \right)$.

Предположим, что число $x = \sin 5^\circ $ является рациональным, тогда из равенства $\left( * \right)$ следует, что число $\sqrt 3 $ также является рациональным, а это не верно. Следовательно, число $x = \sin 5^\circ $ является иррациональным.
Утверждение доказано.

[AKM]

AKM:

Cute,

Выкладывание готовых решений учебных задач на форуме категорически не приветствуется!
Пожалуйста, ознакомьтесь с Правилами форума!

[Nxx]

Цитата:

Выкладывание готовых решений учебных задач на форуме категорически не приветствуется!

Что в этом плохого?

[AKM]

Nxx в сообщении #218342 писал(а):

Что в этом плохого?

Даже если разъяснений в Правилах (ссылка наверху страницы) недостаточно, в этой теме/ветке это был бы оффтопик.

[Povitek]

большое спасибо! выручили!