Равномерная непрерывность

[valiko]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачку:

Функция $f(x)$ равномерно непрерывна на $[a, +\infty)$. Доказать, что выполнено одно из трех условий:
1) либо $f(x)$ ограничена на $[a, +\infty)$
2) либо $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$
3) либо $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$

Я доказал, что если существует конечный $\lim_{x\to +\infty} f(x)$, то функция ограничена. А вот дальше со строгим доказательством, не "на пальцах", проблемы.

[Brukvalub]

valiko в сообщении #217651 писал(а):

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачку:

Функция $f(x)$ равномерно непрерывна на $[a, +\infty)$. Доказать, что выполнено одно из трех условий:
1) либо $f(x)$ ограничена на $[a, +\infty)$
2) либо $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$
3) либо $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$

Как иожно доказать неверное утверждение?

[valiko]

Кудрявцев в своем задачнике просит сделать именно это.
Почему Вы считаете это утверждение неправильным?

[Brukvalub]

valiko в сообщении #217668 писал(а):

Почему Вы считаете это утверждение неправильным?

Потому, что мгновенно строится контрпример.

[valiko]

Буду очень признателен, если Вы его построите и продемонстрируете, поскольку у меня это не получилось

[Brukvalub]

Нарисуйте ломаную, которая имеет звенья, параллельные то прямой y=x , то прямой y= - x, причем каждое следующее звено вдвое длиннее предыдущего.

[valiko]

Brukvalub,
Огромное спасибо! Видимо, в Кудрявцеве не только в ответах ошибки бывают, но и в заданиях