Найти производную по направлению

[ozhigin]

Найти производную ф-ии $f=3x^4+y^3+xy$ в т. $М(1,2)$ по направлению, образующему с осью $x$ угол $135$
нахожу

$$ grad (f) = \left( \begin{array} 12x^3+y \\ 3y^2+x \end{array} \right) $$

$\frac{\partial f}{\partial l}$=?
Затем надо найти $l$ я полагаю она равна $l= \left( \begin{array} --\frac{\sqrt2}{2} \\ \frac{\sqrt2}{2} \end{array} \right)$
и следовательно $\frac{\partial f}{\partial l}=(l,grad(f))=-\frac{\sqrt {2}}{2}$ такак как $grad(f) $ в точке M $= \left( \begin{array} 114 \\ 13\end{array} \right) $$


прошу проверить верность решения и помочь разобраться как запишется $lim$ , если находить через предел!

[Хорхе]

Вроде правильно

[ozhigin]

опишите нахождение через предел пожалуйста

[Brukvalub]

Параметризуйте прямую, проходящую через заданную точку в направлении единичного вектора, имеющего заданное направление, подставьте найденную параметризацию в функцию и ищите по определению производной правую производную композиции в нуле.

[ozhigin]

а это тогда понял, скажите такой предел?

$\lim\limits_{l \to 0} \frac{f(1+l\frac{\sqrt2}{2};2-l\frac{\sqrt2} {2})- f(1;2)}{l} =\frac{\partial f}{\partial l} $

[Brukvalub]

ozhigin в сообщении #217404 писал(а):

скажите такой предел?

Brukvalub в сообщении #217388 писал(а):

правую производную

[ozhigin]

не понял почему правая

$\lim\limits_{l \to +0} \frac{f(1+l\frac{\sqrt2}{2};2-l\frac{\sqrt2} {2})- f(1;2)}{l} =\frac{\partial f}{\partial l} $

так?

[Brukvalub]

Да, так.

ozhigin в сообщении #217412 писал(а):

не понял почему правая

Напомните мне определение производной по направлению.

[Хорхе]

Brukvalub в сообщении #217388 писал(а):

... правую производную композиции в нуле.

Кстати, разные авторы по-разному определяют. В учебниках, по которым я учился, нет условия правоты производной. У вопрошающего в учебниках может быть то же самое.

[ozhigin]

эээ...поймите сейчас облазил все лекции,практику, Ильина , Фихтенгольц, там нигде нет про правую или левую производную, предел просто при $l->0$

[Хорхе]

И я о том же

[Brukvalub]

Хорхе в сообщении #217422 писал(а):

Кстати, разные авторы по-разному определяют. В учебниках, по которым я учился, нет условия правоты производной. У вопрошающего в учебниках может быть то же самое.

Вот поэтому я и попросил:

Brukvalub в сообщении #217419 писал(а):

Напомните мне определение производной по направлению.