Разностная схема "крест" (аппроксимация)

[bl4de]

$ \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}x^2} + \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}y^2} = 0 $
$ 0 \le x \le 1; 0 \le y \le 1 $
Как для данного уравнения составить СЛАУ, если $ u_{ij} = \frac{1}{4}(u_{{i} - 1,j} + u_{{i} + 1, j} + u_{{i},j - 1} + u_{{i}, j + 1}) $ ?

[gris]

А граничные условия даны?

[ewert]

bl4de в сообщении #216662 писал(а):

$ \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}x^2} + \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}y^2} = 0 $
$ 0 \le x \le 1; 0 \le y \le 1 $
Как для данного уравнения составить СЛАУ, если $ u_{ij} = \frac{1}{4}(u_{{i} - 1,j} + u_{{i} + 1, j} + u_{{i},j - 1} + u_{{i}, j + 1}) $ ?

Вот Вы её и составили. Не хватает только граничных условий. Добавьте -- и решайте.

[bl4de]

Цитата:

Добавьте -- и решайте.

Можно пример СЛАУ с вашими граничными условиями, т.к. загвоздка именно с этим: не совсем понимаю как связать граничные условия с составлением СЛАУ?

[gris]

Например, шаг деления 0.25. Допустим, на границе функция равна $x+y$
Индексы меняются от 0 до 4.

$u_{0,0}=0$
$u_{1,0}=0.25$
$u_{2,0}=0.5$
$u_{3,0}=0.75$
$u_{4,0}=1$
$u_{1,4}=1.25$
$u_{2,4}=1.5$
$u_{3,4}=1.75$
$u_{4,4}=2$
$u_{0,1}=0.25$
$u_{0,2}=0.5$
$u_{0,3}=0.75$
$u_{0,4}=1$
$u_{4,1}=1.25$
$u_{4,2}=1.5$
$u_{4,3}=1.75$
Ну и ещё Ваших девять уравнений.
Получится 25 уравнений для 25 неизвестных.

[ewert]

bl4de в сообщении #216710 писал(а):

, т.к. загвоздка именно с этим: не совсем понимаю как связать граничные условия с составлением СЛАУ?

Дело в том, что система линейных уравнений, которую Вы выписали -- недоопределена. Количество уравнений (т.е. количество внутренних узлов) меньше, чем количество неизвестных (узловых значений вообще, в т.ч. и граничных). Но вот если Вы жёстко предпишете граничным узлам значения, получающиеся из граничных условий -- всё станет тип-топ.

[bl4de]

Цитата:

Ну и ещё Ваших девять уравнений.

Девять уравнений, т.к. нам неизвестны
$u_{1,1} ; u_{1,2}; u_{1,3}; u_{2,1}; u_{2,2}; u_{2,3}; u_{3,1}; u_{3,2}; u_{3,3}$.
Я прав?

[gris]

Да.
Добавятся $u_{1,1}= \frac14(....)$ и т.д.
Разумеется, при меньшем шаге количество "внутренних" уравнений будет существенно превосходить количество граничных.

[bl4de]

$\frac14 u_{0,1} + \frac14 u_{2,1} + \frac14 u_{1,0} + \frac14 u_{1,2} = 0$
$\frac14 u_{0,2} + \frac14 u_{2,2} + \frac14 u_{1,1} + \frac14 u_{1,3} = 0$
...
При составлении матрицы для данной СЛАУ, коэффециенты перед $u_{0,j}$ будут располагаться в первом столбце, а коэффициенты перед $u_{1,j}$ соответственно во втором?