Исследование функции на непрерывность

[MTV]

Найти все точки разрыва функции трех переменных.

u = $ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x^2+y^2+z^2-2z}~e^{-\frac{1}{z^2}}, ~~~ \left\{ \begin {array}{l} z\neq 0 \\ x^2+y^2+z^2\neq 2z \end{array} \right \\ 0, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left[ \begin {array}{l} z=0 \\ x^2+y^2+z^2= 2z \end{array} \right \end{array} \right. $

Что сделано:
Итак, знаменатель первой дроби обратится в ноль в тех точках, которые принадлежат сфере радиуса $r=1$ с координатами центра $(0,0,1)$. Для краткости обозначим это множество точек $M$, а произвольные будем обозначать $X_0$.
1) $X_0\in M, z_0\neq0:$
Предел в этих точках равен бесконечности, а значит это точки разрыва.
2)$X_0\notin M, z_0=0 :$
Предел в этих точках равен нулю (знаменатель не обращается в ноль, а "е в степени" сремится к нулю). Функция в этих точках непрерывна.
3) $X_0\in M, z_0=0 :$
Отсюда следует, что этому условию удовлетворяет точка (0,0,0).
Здесь я впал в ступор, не могу найти предел в точке (0,0,0), а точнее - доказать что он равен нулю.
Не подскажете, что мне делать?

[ewert]

MTV в сообщении #216640 писал(а):

1) $X_0\in M, z_0\neq0:$3) $X_0\in M, z_0=0 :$
Отсюда следует, что этому условию удовлетворяет точка (0,0,0).
Здесь я впал в ступор, не могу найти предел в точке (0,0,0), а точнее - доказать что он равен нулю.
Не подскажете, что мне делать?

Доказывать, что предела не существует, т.к. в сколь угодно малой окрестности начала координат наблюдаются как сколь угодно малые, так и сколь угодно большие значания функции.

(окружите начало координат сферой сколь угодно малого радиуса и пробегитесь по ней -- обязательно наткнётесь на сферу $M$.)

[MTV]

В ответе написано что функция там непрерывна, поэтому то здесь я в замешательстве. Обычно ведь можно удачно оценить когда знаменатель положительный, когда там модули, квадраты всякие, а тут что то с оценкой сложновато

[ewert]

MTV в сообщении #216712 писал(а):

В ответе написано что функция там непрерывна, поэтому то здесь я в замешательстве.

Правильно в замешательстве, а в ответе написана явная ложь. Какую бы мальнькую сферу вокруг начала координат мы ни взяли, по мере продвижения вдоль этой сферы к линии её пересечения с большой сферой (а это некоторая окружность, приподнятая над горизонтальной плоскостью) первая дробь будет стремиться к бесконечности, в то время как второй, экспоненциальный сомножитель -- к некоторой константе (соответствующей координате $z\neq0$ той самой окружности). Это означает, что в сколь угодно малой окрестности начала координат найдутся точки, в которых значения всей функции сколь угодно велики. О какой непрерывности в начале координат при этом может идти речь?! И то, что на самой сфере функция силком доопределена как ноль -- решительно ничего не меняет.

[ASA]

В продолжение к сказанному ewert. Положим $x=e^{-\frac{1}{2\varepsilon^2}$, $y=0$, $z=-\varepsilon$. Тогда для всех $\varepsilon>0$ имеем $x^2+y^2+z^2-2z>0$, $z<0$ и $u(x,y,z)>1$. Ну т.е. если $\varepsilon\to 0$, то $x,y,z\to 0$, но $u(x,y,z)$ не стремится к 0.