Найти наибольше расстояние от центра эллипса до его нормалей

[MTV]

Найти наибольшее расстояние от центра эллипса с полуосями $a$ и $b$ до его нормалей.

Подбросьте идейку? Никак не могу подступиться к задаче.

[gris]

поместите центр эллипса в начало координат. Напишите его уравнение, уравнение нормали, расстояние от нормали до точки $(0;0)$. Найдите минимум.

[MTV]

я решал методами функции от одной переменной, у меня получились страшные выражения, сейчас напишу какие

-- Сб май 23, 2009 17:01:50 --

$$x(t)=t+\frac{t\frac{b^2}{a^2}}{t^2\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{b^4}{a^4}\right)-1}$$

$$y(t)=\frac{bt^2\sqrt{1-\frac{t^2}{a^2}}(b^2-a^2)}{b^2t^2-a^2t^2+a^4}$$

тогда $r(t)=\sqrt{x^2+y^2}$
Даже если мы запишем $r^2(t)$ и станем дифференцировать, ничего хорошего точно не выйдет

[gris]

Лучше отталкиваться от канонического уравнения эллипса.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Уравнение нормали в точке $(x_0;y_0)$, принадлежащей эллипсу, имеет простой вид. Вы его не знаете?

[Алексей К.]

Методами ф-ции одной переменной у меня решилось просто.
Уравнение нормали в точке $x=a\cos\varphi,y=b\sin\varphi$ имеет вид $Y-b\sin\varphi=k(X-a\cos\varphi)$, где $k=\dfrac{a\sin\varphi}{b\cos\varphi}$ --- её угл. коэфф. Приводя его к нормальному (нормализованному!) виду ($L(X,Y)=0$), получаем заодно функцию расстояния от точки $X,Y$ до этой прямой. Подставляя $X=0,Y=0$ получаем функцию от $\varphi$, экстремумы которой очевидны.

[MTV]

вопрос может показаться глупым, но что понимать под нормализованным видом? только лишь перенос всего хозяйства в левую часть?

[gris]

Я всё о своём. Уравнение нормали к эллипсу имеет вид

$$\frac{a^2X}{x} -\frac{b^2Y}{y}+(b^2-a^2)=0$$

Расстояние равно

$$\frac{|b^2-a^2|}{\sqrt{\frac{a^4}{x^2}+\frac{b^4}{y^2}}}$$

То есть нужно найти минимум

$$\frac{a^4}{x^2}+\frac{b^4}{y^2}$$

при условии

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

При этом в силу симметрии можно ограничится первой четвертью.

Обозначим

$$u=\frac{x^2}{a^2}$$

при

$$u\in (0;1)$$

...

[MTV]

ох как! ну теперь то всё точно понятно. спасибо огромное!

[Алексей К.]

MTV в сообщении #216476 писал(а):

но что понимать под нормализованным видом?

Я очень спешил, поэтому не уточнил. И правильное слово, видимо, --- нормированное. Уравнение $Ax+By+C=0$ нормировано, если $A^2+B^2=1$. Т.е. $3x+4y-10=0$ надо записать как $\dfrac{3x+4y-10}{\sqrt{3^2+4^2}}=0$, или $0.6x+0.8y-2=0$. Тогда величина $0.6x+0.8y-2$ есть чисто расстояние от точки $(x,y)$ до этой прямой.

-- 23 май 2009, 21:20 --

$(Y-b\sin\varphi)b\cos\varphi-(X-a\cos\varphi)a\sin\varphi=0$,
$\dfrac{Yb\cos\varphi-b^2\cos\varphi\sin\varphi-Xa\sin\varphi+a^2\cos\varphi\sin\varphi}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$,
$X=0,Y=0:\qquad\mbox{~}$ $\dfrac{-b^2\cos\varphi\sin\varphi+a^2\cos\varphi\sin\varphi}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$
$D(\varphi)=\dfrac{(a^2-b^2)\sin2\varphi}{2\sqrt{a^2+b^2}}$
$D_{max}=\pm\dfrac{(a^2-b^2)}{2\sqrt{a^2+b^2}}$
(Опять спешу).