Найти площадь, ограниченную кривыми

[ozhigin]

Найти площадь, ограниченную кривыми
$x^4y^2=a^5(x-a)$,
$x=2a$
Подскажите магистральную идею
и почему здесь будет замкнутая фигура

[gris]

Я построил эскиз графика. Определил его особенности (чётность по $y$, зависимость от знака $a$). Написал функцию $y(x)$, определил пределы интегрирования и посчитал несложный интеграл

-- Сб май 23, 2009 17:18:15 --

PS Интеграл не совсем простенький, но вполне берущийся. Я его по частям. А потом заменой.

[Алексей К.]

gris в сообщении #216460 писал(а):

Я построил... Определил ... Написал... и посчитал...

Чего сказать --- всё довольно гениально...

[ozhigin]

Полагаясь на Вашу помощь и Advanced Grapher я пришел к выводу, что интеграл получается следующий

$$2 \int\limits_{a}^{2a} \sqrt{\frac{{a^5(x-a) }} {x^4}}} dx$$

[ewert]

Правильно пришли. А теперь воспользуйтесь советом gris'а, только наоборот: сперва заменой $\sqrt{x-a}=t,$ а потом по частям, получится арктангенс.

[ozhigin]

да , вижу уж посчитал -там калямбда
получил
$2 \sqrt{a^2}(\frac{\pi} {4} - \frac{1} {2 \sqrt{a}})$

[ewert]

Ну Вы даёте. Из соображений размерности немедленно следует, что ответ должен быть пропорционален $a^2.$

(фактически там будет $a^2({\pi\over2}-1),$ если ничего не зевнул)

[ozhigin]

а преподаватель сказал, что интеграл неправильный, так как под корнем отрицательное выражение, что делать? ($a$ то)

[Алексей К.]

Интеграл записан правильно, а взят или потом сосчитан неправильно, на что уже указывал ewert.

$$2 \int\limits_{a}^{2a} \sqrt{\frac{{a^5(x-a) }} {x^4}}} dx=2\cdot \left[a^2\arctg\left(\dfrac{\sqrt{a(x-a)}}{a}\right)-\dfrac{a^2\sqrt{a(x-a)}}{x}\right]_a^{2a}=\dfrac12 a^2(\pi-2)$$

-- 27 май 2009, 08:46 --

С преподавателем попробуйте вежливо поспорить: Вы ведь, кажется, уже поняли, что он чего-то не то говорит.

-- 27 май 2009, 08:48 --

О, и с ответом ewerta совпало.

[ozhigin]

ну наконец-то сошлось