Определенный интеграл с точностью (проверить)

[rar]

Проверьте пожалуйста.

С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить определенный интеграл

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx$$

с точностью

$$\theta =0,001$$

.

Решение:

$$e^{-x^2/2}=1+\left(-\frac{x^2}{2}\right)+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2}{2!}+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^3}{3!}+...+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^n}{n!}=\sum\limits_{n= 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}$$

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx=\int\limits_0^{1/2}\sum\limits_{n= 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}dx=\sum\limits_{n= 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\int\limits_0^{1/2}x^{2n}dx=\sum\limits_{n= 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_{0}^{1/2}=$$

$$=\sum\limits_{n= 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\left[\frac{(1/2)^{2n+1}}{2n+1}-\frac{0^{2n+1}}{2n+1}\right]=\frac{1}{2}\sum\limits_{n= 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{8^n(2n+1)n!}$$

Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся

$$u_n=\frac{1}{2\codt 8^n(2n+1)n!}$$

$$u_{n+!}=\frac{1}{2\codt 8^{n+1}(2n+3)(n+1)!}$$

$$u_n>u_{n+1}$$

и

$$\lim_{n\to\infty}u_n=0$$

, то справедливо неравенство:

$$|R_n|\leqslant u_{n+1}=\frac{1}{16\cdot 8^n(2n+3)(n+1)!}$$

Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять два члена ряда, так как

$$R_1\leqslant \frac{1}{16\cdot 8\cdot 5\cdot 2}<0,001$$

Производя вычисления, получаем:

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 8\cdot 3}\approx 0,479$$

Ответ:

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx\approx 0,479\pm 0,001$$

.

[Brukvalub]

Схема - правильная, а вычисления - не проверял, мне и контрольных своих студентов хватает.

[rar]

Спасибо.

[I-O]

Вычислил 5-ю численными методами с помощью моей программы в режиме online: (ссылка удалена)

Метод прямоугольников 0.4808342345852631
Метод средних 0.48021285079020276
Метод трапеций 0.47978155766937725
Метод Симпсона 0.4799268789173487
Метод 3/8 0.4799252207443693

Функция: Math.exp(-x*x/2) -> e^(-x^2) с точностью 0.001.

[AKM]

I-O,

это задачи по математике на понимание вопросов точности интегрирования, остаточного члена ряда, и проч. А вовсе не на пользование программами.
Не надо выискивать и поднимать старые темы, и рекламировать в них свою программу или сайт.
Это, если и интересно, то не здесь!