ОДУ

[Spook]

$(4x^3+2xy^2)dx+(2xy^2+1)dy=0$. Хотел сначала привести к уравнению в полных дифференциалах, но не удалось подобрать нормирующий множитель(то есть домножаем на него уравнение и получаем уравнение в полных дифференциалах). В общем-то, его можно будет найти, если решить вот это уравнение: $\frac{\partial z}{\partial y}(4x^3+2xy^2)-\frac{\partial z}{\partial x}(2xy^2+1)=2y^2-4xy$, но его решения тоже не угадываются.

-- Пт май 22, 2009 21:29:43 --

Попробовал в качестве $z$ взять полином третьей степени от $x,y$, но это не помогло. Интересно, если я нигде не ошибся, может ли это означать, что данное уравнение решений не имеет?

[Brukvalub]

Spook в сообщении #216302 писал(а):

может ли это означать, что данное уравнение решений не имеет?

Решения оно обязательно имеет - см. теорему о существовании и единственности решения ОДУ. Вот только как найти это решение в квадратурах?

[Spook]

Brukvalub писал(а):

Решения оно обязательно имеет - см. теорему о существовании и единственности решения ОДУ.

Ну это да, я имел ввиду чтобы оно записывалось в виде замкнутого выражения.

Brukvalub писал(а):

Вот только как найти это решение в квадратурах?

Видимо только угадывать нормирующий множитель. По крайней мере, так написано в Эльсгольце. Чем мне одновременно и нравятся и не нравятся такие задачки. А то, что это учебная задачка с семестрового курса по ОДУ, придает уверенности, что его все-таки можно подобрать.

[dizpers]

Я домножил на $\frac {y^3} {x^3dx}$, cделал замену $\frac {y} {x} = t$. Или я чего не понимаю...

[Spook]

dizpers в сообщении #216457 писал(а):

Я домножил на $\frac {y^3} {x^3dx}$, cделал замену $\frac {y} {x} = t$. Или я чего не понимаю...

У меня получается $4t^3x^3+2t^5x^3+(2t^5x^3+t^3)(t+xt')=0$. Все равно не в полных дифференциалах. Не думаю, что однородная замена может здесь как-то помочь.