применение производной

[Rony]

Проверьте, пожалуйста:

1. Через какую точку эллипса
$\frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = 1$
нужно провести касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой касательной осями координат, была наименьшей?

Из уравнения касательной и эллипса:
$x_1 ^2 = \frac {a^2 (b^2-y_1 ^2)} {b^2}$
стороны треульника:
$b^2/y_1; a^2/x_1$
Производная площади: $\frac {(y_1 - 1)(y_1 +1)} {y_1 ^2 \sqrt{b^2-y_1 ^2}}$
минимум при $y_1=1$
тогда $x_1= \frac a b \sqrt{b^2 - 1}$

2. Определить угол, под которым пересекаются кривые
$x^2+y^2=8$ и $y^2=2x$
уравнение касательной к параболе: $y=0,5x+1$
к окружности: $y=4-x$. Пересекаются в (2;2)
Тогда $tg \alpha =3$
Тут такой вопрос: как это задание решить с использованием производной?..

3. В шар радиуса R вписать прямой круговой конус максимального объёма. Найти объём конуса
R-радиус шара, r-радиус конуса, l-образующая, H высота конуса

$l^2=2RH$
$l^2=H^2+r^2$
$R^2=r^2+1/9 H^2$
отсуда получаем, что $r^2=2RH-H^2$
$V=\frac 1 3 \pi r^2 H=\frac {\pi} {3} (2RH^2-H^3)$
Наибольшее значение при H=4/3
$V=\frac {16\pi} {27} (2R- \frac 4 3)$

[venco]

Такую задачу лучше решать преобразованием эллипса в окружность.
При замене $x'=x/a, y'=y/b$ в новых координатах отношение площадей, прямые и касательные сохраняются. А для окружности решение очевидно.

[vvvv]

"Тут такой вопрос: как это задание решить с использованием производной?.."
Ответ: использовать геометрический смысл производной

[ewert]

Rony в сообщении #216298 писал(а):

Тут такой вопрос: как это задание решить с использованием производной?..

А как Вы нашли касательные?...

Rony в сообщении #216298 писал(а):

минимум при $y_1=1$

Это неправдоподобно: игрек -- величина размерная.

Rony в сообщении #216298 писал(а):

Наибольшее значение при H=4/3
$V=\frac {16\pi} {27} (2R- \frac 4 3)$

И снова неправдоподобно -- по той же причине.

[AKM]

Rony в сообщении #216298 писал(а):

Проверьте, пожалуйста:
2. Определить угол, под которым пересекаются кривые
$x^2+y^2=8$ и $y^2=2x$ ....
Тогда $tg \alpha =3$

У меня, однако, получилось $90^\circ$. Но модераторы тоже могут ошибаться.

[ewert]

AKM в сообщении #216412 писал(а):

Rony в сообщении #216298 писал(а):

Проверьте, пожалуйста:
2. Определить угол, под которым пересекаются кривые
$x^2+y^2=8$ и $y^2=2x$ ....
Тогда $tg \alpha =3$

У меня, однако, получилось $90^\circ$. Но модераторы тоже могут ошибаться.

Могут. Девяносто градусов -- это неправдоподобно: парабола -- это всё же не луч.

(а вот арктангенс трёх -- это вроде как раз верно)

[AKM]

[Rony]

Исправленный №1:
Производная: $\frac {b^3 a (b-\sqrt2 y_1)(b+\sqrt2 y_1)} {\sqrt{b^2-y_1 ^2}}$
Наименьшее значение - при $y_1=\frac b {\sqrt2}$
$x_1=\frac a {\sqrt2}$

Аналогично №3:
производная объёма: $H \frac {\pi} 3 (4R-3H)$
наибольшее при $\frac {4R} H$
Спасибо!!