Вычеты функции в сущ. особой точке

[maxpelevin]

Есть у меня такая функция $\frac {\sin(2*pi/z)} {\ z-2}$. Нужно найти вычеты. Понятно, что в точке 2 — устранимая и вычет будет равен 0, а как посчитать вычет в точке 0?

[Полосин]

Разложить в ряд Лорана в окрестности нуля и взять коэффициент при $z^{-1}$.

[maxpelevin]

До этого я догадался. Раскладываем мы что? Синус? Ну разложим мы его в ряд, а дальше что? Делить на z-2? Это тогда уже не лорановское разложение будет.

[Полосин]

$$ \frac1{z-2}=-\frac12\left(1+\frac{z}2+\frac{z^2}4+...\right) $$

-- Пт май 22, 2009 02:08:17 --

Можно также воспользоваться теоремой о вычетах и сразу получить ответ.

[maxpelevin]

Полосин
Ну и смысл от того, что мы одну бесконченую сумму умножим на другую. Где там $z^{-1}$ искать?

А фраза «воспользоваться теоремой о вычетах» слишком неоднозначна и не понятно, как сразу получить ответ.

[ewert]

maxpelevin в сообщении #216060 писал(а):

Ну и смысл от того, что мы одну бесконченую сумму умножим на другую. Где там $z^{-1}$ искать?

Да просто тупо перемножить. Нас ведь интересуют только слагаемые с минус первой степенью, а они очевидным образом вылавливаются:

$$-{1\over2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k{(2\pi)^{2k+1}\over(2k+1)!}z^{-(2k+1)}\cdot\left({1\over2}\right)^{2k}z^{2k}.$$

Ну сумма этого ряда понятно чему равна.

----------------------------------------------------
А-а, насчёт теоремы о вычетах. Ну да: на бесконечности же функция убывает квадратично -- и, следовательно, чему равен вычет в бесконечности?...