Задача о пределе интегрального выражения

[Ryabsky]

Доказать, что если функция $f$ непрерывна при $x\geq0$ и

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=a\in \mathbb R$$

, то

$$\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt=a$$

.

Мысли вот какие:
Если $a\neq0$, то вообще говоря из геом. смысла очевидно (хотя и без него легко доказывается), что

$$\lim_{T\rightarrow+\infty}F(T)=\infty$$

того же знака, что и $a$, где $F$ - одна из первообразных функции $f$.

Сам бог велел применить формулу Ньютона-Лейбница (а исходя из условия задачи, применить мы ее можем), получим:

$$\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt=\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{F(T)-F(0)}{T}=$$

(лопиталь)

$$=\lim_{T\rightarrow+\infty}f(T)=a$$

Теперь пусть $a=0$.
1)

$$\lim_{T\rightarrow+\infty}F(T)=\infty$$

- здесь рассуждения аналогичные.
2)

$$\lim_{T\rightarrow+\infty}F(T)=\alpha$$

- тогда очевидно

$$\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{F(T)-F(0)}{T}=0$$

3)

$$\nexists\lim_{T\rightarrow+\infty}F(T)$$

- этот момент вызвал затруднения. Помогите пожалуйста?

З.Ы. Может быть можно эту задачу короче решить?

[Cave]

Я бы по определению предела делал: возьмём $\varepsilon>0$ и по нему найдём $T_0$, что при всех $T>T_0$ среднее значение отличается от $a$ не больше чем на $\varepsilon$. Дальше стандартно: выбираем $T_1$, чтобы функция при $x > T_1$ отличалась от $a$ не больше чем на $\varepsilon / 2$, интеграл от $0$ до $T$ разбиваем в сумму двух с точкой разбиения $T_1$ (берём $T$ > $T_1$) и ищем искомое $T_0$.
Если знать и уметь пользоваться верхним и нижним пределами функции, то можно чуть изящнее всё это записать.

[bot]

Ryabsky в сообщении #216047 писал(а):

Может быть можно эту задачу короче решить?

А пролопиталить?

[ewert]

bot в сообщении #216065 писал(а):

А пролопиталить?

При $a\neq0$ -- безусловно. А вот при $a=0$ этот фокус не пройдёт. Там обычно так: делят интеграл на два -- на $\int_0^{\sqrt T}$ и на $\int_{\sqrt T}^T$, и оба интеграла легко оцениваются.

Но можно (при $a=0$) и гораздо вульгарнее: прибавить и вычесть к функции любую константу, после чего задача сводится к предыдущей.

[Ryabsky]

ewert в сообщении #216072 писал(а):

Но можно (при $a=0$) и гораздо вульгарнее: прибавить и вычесть к функции любую константу, после чего задача сводится к предыдущей.

блин, чё ж я сразу то не додумался... спасибо!

[ewert]

Пожалуйста. А вообще я бы оформил доказательство (для произвольного $a$) так.

Обозначим

$M\equiv\sup\limits_{x\geqslant 0}|f(x)|, \qquad $\varepsilon(x)\equiv\sup\limits_{t\geqslant x}|f(t)-a|;$

тогда $\varepsilon(x)\to0$ при $x\to+\infty.$ Разобьём анализируемое выражение на три слагаемых:

$${1\over T}\int_0^Tf(x)dx=a+{1\over T}\int_0^{\sqrt T}(f(x)-a)dx+{1\over T}\int_{\sqrt T}^T(f(x)-a)dx.$$

Второе слагаемое оценивается по модулю величиной ${M+a\over\sqrt T},$ третье -- величиной $\varepsilon\left(\sqrt T\right),$ поэтому оба стремятся к нулю. Ч.т.д.