Помогите решить проблему с уравнением Бесселя

[Makita]

Уравнение Бесселя в канонической форме имеет вид:
$u^{''}+\frac{1}{x} u^{'}+(\beta^2-\frac{\nu^2}{x^2})u=0$
Также оно может быть записано в виде:
$u^{''}+\frac{1-2\alpha}{x} u^{'}+(\beta^2+\frac{\alpha^2-\nu^2}{x^2})u=0$
Причем сводится к каноническому виду подстановкой $u=x^{\alpha}F(\betta x)$

Вопрос1: Должно ли быть выполнено условие $\alpha^2-\nu^2\neq0$?

Мне на рецензию принесли работу, где появляется такое уравнение:
$u^{''}+\frac{2}{x} u^{'}+\beta^2 u=0$
И автор заявляет, что это тоже уравнение Бесселя при $\alpha=-1/2$ и $\nu=1/2$, после чего подставляет в выписанное решение уравнения Бесселя параметры $\alpha=-1/2$ и $\nu=1/2$ и утверждает, что это правильное решение.
У меня возникли подозрения, что данное уравнение не является уравнением Бесселя, так как к каноническому виду подстановкой $u=x^{\alpha}F(\betta x)$ не приводится.

Вопрос2: Является ли данное уравнение уравнением Бесселя, и как тогда его привести к каноническому виду?

Это уравнение бесспорно очень похоже внешне на уравнение Бесселя, но как ни крути к канонической форме не приводится (все время мешает 2 в знаменателе).
В следствие чего подозреваю, что в работе допущена ошибка. Сам я не специалист в "урматах", поэтому хотелось бы услышать по этому поводу мнения специалистов.

Буду признателен за помощь.

[Gafield]

Есть еще линейные замены. Решениями во всяком случае будут функции $x^{-1/2}J_{\pm1/2}(\beta x)$. Это можно проверить непосредственно, поскольку они выражаются через синус и косинус.

[Makita]

хмм...Может быть Вы укажете необходимую замену, чтобы я тогда до конца уверовал?

[Gafield]

Я не проверял, но разве вид решения не совпадает с

Цитата:

подстановкой $u=x^{\alpha}F(\beta x)$