Задания по производной

[Rony]

1. Необходимо проверить справедливость теоремы Лагранжа (о конечных приращениях) для функции $ f(x)=x^n $ на отрезке [0;a] (a>0).
По теореме:
$f(a)-f(0)=f^{'} (c) (a-0)$
$a^{n-1}=n*c^{n-1}$
$(c\in [0;a])$
подскажите, пожалуйста, что делать дальше..

2. Будет ли функция
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} xsin(1/x), x\neq 0\\ 0, x=0, \end{array} \right. $
дифференцируема в точке $x_0 = 0$?
Я так понимаю, необходимо найти пределы слева и справа выражения $sin(1/x)$ и сравнить... И оба предела получаются равны 0. Верно? Поэтому функция дифференцируема.

[ewert]

Rony в сообщении #215957 писал(а):

$a^{n-1}=n*c^{n-1}$
$(c\in [0;a])$
подскажите, пожалуйста, что делать дальше..

Дальше:

$${c\over a}=\left({1\over n}\right)^{1/(n-1)}.$$

И правая часть заведомо меньше единицы.

Rony в сообщении #215957 писал(а):

Я так понимаю, необходимо найти пределы слева и справа выражения $sin(1/x)$ и сравнить... И оба предела получаются равны 0. Верно?

Неверно. Оба предела не существуют.

[Brukvalub]

Rony в сообщении #215957 писал(а):

подскажите, пожалуйста, что делать дальше..

Найти из этого уравнения с.

Rony в сообщении #215957 писал(а):

И оба предела получаются равны 0.

Я бы сказал, что обоих пределов нет.

[Rony]

Спасибо!
А как доказать, что нет предела?

[ewert]

построить последовательность точек, стягивающуюся к нулю, по которой этот несчастный синус ни к чему не стремится, а беззаботно скачет от плюс единицы к минус единице

[Rony]

Всё понятно, большое спасибо!

[Виктор Викторов]

Rony в сообщении #215957 писал(а):

2. Будет ли функция
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} xsin(1/x), x\neq 0\\ 0, x=0, \end{array} \right. $
дифференцируема в точке $x_0 = 0$?
Я так понимаю, необходимо найти пределы слева и справа выражения $sin(1/x)$ и сравнить... И оба предела получаются равны 0. Верно? Поэтому функция дифференцируема.

ewert в сообщении #215969 писал(а):

Rony в сообщении #215957 писал(а):

Я так понимаю, необходимо найти пределы слева и справа выражения $sin(1/x)$ и сравнить... И оба предела получаются равны 0. Верно?

Неверно. Оба предела не существуют.

Brukvalub в сообщении #215970 писал(а):

Rony в сообщении #215957 писал(а):

И оба предела получаются равны 0.

Я бы сказал, что обоих пределов нет.

Функция $f(x)=xsin(1/x)$ при x стремящемся к нулю стремится к нулю. Это становится очевидным, если сравнить абсолютные величины $xsin(1/x)$ и $x$.

[ewert]

Вы не заметили, что речь идёт о производной в нуле, а не о самой функции.

[Виктор Викторов]

Вы правы. Я-то думал, что мы начали с обсуждения непрерывности в нуле, а потом пойдём к производной.