Проверьте нахождение интеграла

[Catcher of Souls]

Верно ли такое решение интеграла $\int{\frac{dx}{cosx}}$ ? Заранее благодарю за помощь.
$\int{\frac{dx}{cosx}}=\int{\frac{dx}{\sqrt{1-sin^2x}}}$
$sinx=t,\ cosxdx=dt,\ dx=\frac{dt}{cosx}=\frac{dt}{\sqrt{1-sin^2x}}=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$
$\int{\frac{dx}{\sqrt{1-sin^2x}}}=\int{\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-t^2}}}=\int\frac{dt}{1-t^2}=\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|=\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+sinx}{1-sinx}\right|$

[Ryabsky]

Да вроде как правильно

[EtCetera]

Некрасиво только как-то.
$\int\frac{\,dx}{\cos x}=\int\frac{\cos\,dx}{\cos^2x}=\int\frac{d\sin x}{1-\sin^2x}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C$
Здесь недавно была тема об интегралах такого типа (они имеют общий способ решения):
http://dxdy.ru/topic22804.html

[ewert]

EtCetera в сообщении #215994 писал(а):

Некрасиво только как-то.

красиво-некрасиво -- а ровно так и надо.

Ну или через тангенс половинного угла, но в данной ситуации это выглядело бы хоть и небольшим, но пижонством.

[EtCetera]

Я имел в виду лишь то, что замена $\sin x=t$ выглядит как-то некрасиво (к тому же использует "равенство" $\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$). И предложил вариант с внесением косинуса под знак дифференциала.
Хотя, конечно, интеграл слишком прост, чтобы его долго обсуждать.

[ewert]

не спорю, последний вариант оформления (ровно того же решения) выглядит действительно грамотнее и идейнее.