задачка по функану про обратный оператор

[g-a-m-m-a]

Оператор $A:\,C[0,\,\pi]\to C[0,\,\pi],\quad (Ax)(t)=x(t)+\int\limits_0^\pi \sin(t+s)x(s)\,ds.$
Найти обратный оператор.

[Полосин]

Воспользуйтесь формулой для синуса суммы.

[g-a-m-m-a]

что-то даже так ничего не получается

[ewert]

Так получается представление исходного оператора в виде $A=I+K$, где $K$ -- конечномерный оператор (ранга 2). Более того, сходу получается представление $Kx=\psi_1(x,\varphi_1)+\psi_2(x,\varphi_2)$. А в этой ситуации для обратного к $I+K$ есть попросту явные формулы (ну или явный алгоритм, если бы ранг был выше).

[g-a-m-m-a]

ewert
Как я понимаю, вы имеете в виду формулу $(I+K)^{-1}=I-K+K^2-\ldots$? так тоже ничего хорошего не получается

[ewert]

нет, я не это имел в виду.

Если

$$Af=q \quad\Longleftrightarrow\quad f=A^{-1}g \quad\Longleftrightarrow\quad f+\psi_1(\varphi_1,f)+\psi_2(\varphi_2,f)=g,$$

то заведомо

$$f=g+\alpha\cdot\psi_1+\beta\cdot\psi_2$$

. Подставляя это равенство в предыдущее, получим систему из двух простеньких линейных уравнений для неизвестных $\alpha,\ \beta.$

Её решение и выразит $f$ через $g$, т.е. даст явное выражение для обратного оператора.

[g-a-m-m-a]

Ага, спасибо, разобралась))