Интеграл. Помогите.

[UnknownHERO]

Вычислить интеграл:
$\int{\frac{1}{\sin{x}}}dx$
Помогите начать.

[ShMaxG]

Домножьте числитель и знаменатель на синус, и занесите синус в числителе под дифференциал.

[UnknownHERO]

Объясните, пожалуйста, операцию занесения синуса под дифференциал.

[ShMaxG]

$$ \sin \alpha d\alpha = - d\cos \alpha $$

[UnknownHERO]

Спасибо. Но хотелось бы в общем случае, чтобы самому разобраться.

[gris]

В интеграле $\int \sin^k x \cos^n x dx$, где $k,n\in Z$ делаются замены $t=\sin x$ при нечётном $n$ или $t=\cos x$ при нечётном $k$. Если оба показателя чётные, то выражение преобразуется через двойные аргументы тригонометрических функций.
Идея состоит в том, что от нечётной степени отщипывается единичка, а синус или косинус в чётной степени выражаются соответственно через косинус или синус. В итоге получаем рациональное выражение относительно функции замены.

[Алексей К.]

UnknownHERO в сообщении #215326 писал(а):

Спасибо. Но хотелось бы в общем случае, чтобы самому разобраться.

В дополнение к сказанному grisом, добавлю ещё два способа, более универсальных.

1. Решать не 2 задачи из Демидовича, заданные в задании, а штук 64. Тогда начинаешь понимать ремесло взятия интегралов. Это точно так же, как и в других ремёслах: недостаточно наклелить две обоины, сварить 1 (один) суп по рецепту, чтобы освоить это "в общем случае"; и в машине надо и поменять масло, и в тормозных колодках поковыряться, не раз.
   
2. Научиться пользоваться справочниками. Ну, то, что на экзаменах-контрольных не дают ими пользоваться, это они сами козлы. Если чувачок может с Бронштейном-Семендяевым решить интеграл и взять дифур --- честь ему и хвала на самом деле, и 5 баллов.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #215374 писал(а):

Если чувачок может с Бронштейном-Семендяевым решить интеграл и взять дифур --- честь ему и хвала на самом деле, и 5 баллов.

Это палочка о двух концах. С одной стороны, нематематику и впрямь нет смысла активно владеть всеми изысканными приёмами интегрирования. Но, с другой: если он не способен самостоятельно взять интеграл типа заглавочного, то ему и никакие Бронштейны с Прудниковыми и прочими Камками не помогут. Он в них попросту утонет.

[Алексей К.]

ewert в сообщении #215379 писал(а):

Но, с другой: если он не способен самостоятельно взять интеграл типа заглавочного, то ему и никакие Бронштейны с Прудниковыми и прочими Камками не помогут. Он в них попросту утонет.

Собственно, я и предлагаю проверить: не утонул --- молодец. Не 64, но 17 задачек, наверное, решил. Чего-то знает.
Ну, и я не имел в виду обучение на высокого математика --- там не берусь судить...