Практическая задача по теории вероятности

[G00gle]

Здравствуйте! Помогите решить чисто практическую задачу по теории вероятности. Есть 10 блоков сочинений, которые будут на экзамене. Также сказано, что темы в блоках могут поменять местами, по какой закономерности их будут менять, сказано ниже. В каждом блоке по 5 тем сочинений. Все темы разбиты на 4 временных промежутка плюс одна тема является свободной (в блоке темы расположены в случайном порядке, то есть может идти сначала XX век, потом 19, но, как правило, свободная тема всегда в конце). То есть в каждом блоке все темы сочинений из разных временных эпох и одна свободная тема. Так как всего сочинений 50, то на каждую эпоху и на свободную тему приходится по 10 сочинений. Если я подготовлю по 2 сочинения на каждую эпоху и 2 сочинения на свободную тему, то какой шанс, что на экзамене будет хоть одно сочинение, которое я готовил?

Забыл добавить. Объясните на пальцах, как вы получили результат.

[gris]

Так как темы в блоках могут менять, то можно считать, что появление в определённом блоке определённой темы по определённой эпохе не зависит от остальных эпох.

Формализуем Вашу задачу. Имеется серия из пяти независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании

$$\frac 5{10}=0.5$$

. Какова вероятность того, что хотя бы одно испытание из пяти будет успешным? Схема Бернулли.

Найдите вероятность того, что все 5 испытаний будут провалены. В общем, скажу Вам, что вероятность успеха будет довольно высока.

PP. Ой! Я ошибся! вероятность будет

$$\frac 2{10}=0.2$$

[bozhok]

gris в сообщении #214901 писал(а):

Так как темы в блоках могут менять

Вроде бы есть уже 10 фиксированных блоков, соответственно темы друг с другом связаны, и не зависимости нет?

[PAV]

По-моему эта формализация неправильная.

Я бы сказал так. Есть пять урн, в каждой - по 10 шаров. В каждой урне два белых шара (это темы, которые подготовлены) и остальные 8 черных. Составление блока - это выбор по одному шару из каждой урны. Какова вероятность, что будет выбран хотя бы один белый шар?

Да, это схема Бернулли, только вероятность успеха в ней не 0.5, а меньше.

[bozhok]

PAV в сообщении #214906 писал(а):

Я бы сказал так. Есть пять урн, в каждой - по 10 шаров. В каждой урне два белых шара (это темы, которые подготовлены) и остальные 8 черных. Составление блока - это выбор по одному шару из каждой урны.

Вроде бы, так бы было если бы блоков было не 10 блоков, а $10^5$? Или нет?

[PAV]

Нет, почему же. Каждая урна - это эпоха. На каждую эпоху имеется 10 тем. Темы объединяются в блоки случайно, по одной от каждой эпохи. Разве не так?

[gris]

Ой! Я ошибся! вероятность будет

$$\frac 2{10}=0.2$$

Почему-то переоценил Ваше старание и подумал, что Вы по каждой эпохе готовите 5 сочинений. Ну если только 2, тогда Ваши шансы хотя и больше 50%, но не так высоки

[bozhok]

Так, но ведь эти 10 объединений уже фиксированы. Соответственно, может оказаться, что ровно два блока будут состоять только из белых шаров, а другие восемь - из черных. А может оказаться, что в каждом блоке будет по одному белому. Все зависит от того, как были сгруппированы блоки, и какие именно сочинения подготовлены.

[PAV]

Это неважно. Распределение тем по блокам происходило независимо от того, как автор выберет темы для подготовки. Если он выбрал их случайно (по две из каждой эпохи), то как они распределялись по блокам уже неважно. Результат один и тот же.

[gris]

не проще ли подготовить 10 тем по одной конкретной эпохе или 10 свободных? Тогда одна из них точно попадётся. Но сдаётся мне, что тем не 50, а в несколько раз больше

[G00gle]

Я сегодня шел домой из школы и пришел к выводу, что проще посчитать количество неудачных исходов, чем удачных, то есть в общем случае:
$k$ - количество видов тем, $b$ - количество тем в каждом виде. Пуcть я подготовил из каждого вида $a$ тем, тогда в каждом виде неподготовленных $(b-a)$ тем. Значит число неудачных исходов, то есть исходов, при которых блоке (состоит из $k$ видов тем) не будет ни одной темы, которую я готовил, равно: $(b-a)^k$.
Число благоприятных исходов равно: $(b^k-(b-a)^k)$, тогда вероятность, что мне попадется хотя бы одно подготовленное сочинение равна: $(b^k-(b-a)^k)/b^k=1-(b-a)^k/b^k$. Вроде все. В моем случае вероятность ~67%.

2gris Свободные темы - это выход, но не все из них достаточно легко раскрыть, поэтому надо кое-что другое подготовить.

-- Пн май 18, 2009 18:01:12 --

Задачу можно легко решить в общем виде, то есть если я подготовлю разное количество тем каждого вида.