Операторным методом найти решение задачи Коши (проверить)

[rar]

Операторным методом найти решение задачи Коши:

$$y''-2y'+2y=e^{2t}$$

,

$$y(0)=-1$$

,

$$y'(0)=1$$

Решение:

$$e^{2x}\gets \frac{1}{p-2}$$

$$y\gets \overline{y}$$

$$y'\gets p\overline{y}-y(0)$$

$$y''\gets p^2\overline{y}-py(0)-y'(0)$$

$$p^2\overline{y}-py(0)-y'(0)-2[p\overline{y}-y(0)]+2\overline{y}=\frac{1}{p-2}$$

$$\overline{y}=\frac{1}{(p^2-2p+2)(p-2)}+\frac{3-p}{p^2-2p+2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{p-2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{p-1}{(p-1)^2+1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(p-1)^2+1}+2\frac{1}{(p-1)^2+1}-\frac{p-1}{(p-1)^2+1}$$

$$y=\frac{1}{2}e^{2t}-\frac{3}{2}e^{t}\cos{t}+\frac{3}{2}e^{t}\sin{t}$$

Ответ:

$$y=(e^{t}-3\cos{t}+3\sin{t})\frac{1}{2}e^{t}$$

.

[Парджеттер]

Если отбросить путаницу в обозначениях, которая у Вас пошла ближе к концу, то мне кажется, что найденное решение не удовлетворяет исходному уравнению А ошибка, наверное, где-то посередине, где Вы дроби мучали. Это я предполагаю.

[rar]

Хм. Дроби проверил, вроде, все правильно. А при подстановке ответа в исходное уравнение получается неверное равенство. Помогите обнаружить ошибку.

[ewert]

rar в сообщении #214593 писал(а):

$$p^2\overline{y}-py(0)-y'(0)-2[p\overline{y}-y(0)]+2\overline{y}=\frac{1}{p-2}$$

$$\overline{y}=\frac{1}{(p-2)(p-1)^2}+\frac{3-p}{(p-1)^2}$$

Перепишите ещё раз первую строчку, аккуратненько подставив начальные данные и раскрыв скобки. Вторая строчка, разумеется, неверна, т.к. общим знаменателем заведомо будет $(p^2-2p+2)(p-2).$

[rar]

Спасибо. Исправил. Проверьте.

[ewert]

Ответ, во всяком случае, правильный.

[rar]

Спасибо.