Пара задачек по коммутативной алгебре

[id]

Делал упражнения из К.А. Атьи-Макдональда, возникло несколько вопросов.

Всюду далее, если нет доп. оговорок, $A$ - коммутативное кольцо с единицей ( ассоциативность по умножению тоже есть ).

4. В кольце $A[x]$ радикал Джекобсона совпадает с нильрадикалом.

Собственно, ситуацию портит то, то что $A[x]$ - не обязательно евклидова область, в противном случае $A[x]$ - область главных идеалов, и значит, всякий ненулевой простой идеал максимален, что и влечет исходное утверждение.

Как быть в общем случае? Можно ли как-то профакторизовать исходное $A$ по простому идеалу, чтобы получить новое, уже евклидово кольцо многочленов, изоморфное исходному?

7. Пусть в кольце $A$ любой элемент удовлетворяет уравнению $x^n = x$ для некоторого $n>1$, зависящего от $x$. Показать, что любой простой идеал максимален.

Соображений особенных нет ( разве что применить деление с остатком, как в док-ве того, что всякая евклидова область - область главных идеалов ); в какую сторону подумать?

[vlad239]

По второй задаче. Возьмем простой идеал. Профакторизуем. Получится область целостности, в которой по-прежнему $x^n=x$. Выведите отсюда обратимость всякого ненулевого $x$.

Влад.

[id]

vlad239
Спасибо!
Наверно, просто потому что $0 = x^n - x = x(x^{n-1} - 1) \Rightarrow x=0$ или $x^{n-1} = 1$, откуда для $n>1$ $xx^{n-2} = 1$. Т.е. ненулевой элемент обратим, значит факторкольцо поле, и, значит, исходный простой идеал был максимален.

[id]

Еще одна задачка, точнее, оставшаяся ее часть.

Пусть $A$ - кольцо ( коммутативное, ассоциативное и с $1$ ), $\mathcal{R}$ - его нильрадикал ( т.е. множество всех нильпотентов $ \sim $ пересечение простых идеалов ). Тогда
$A$ имеет ровно $1$ простой идеал $\Rightarrow$ $A / \mathcal{R}$ - поле.

Ясно, что тогда $\mathcal{R} = \mathfrak{p}$, где $\mathfrak{p}$ - тот самый простой идеал, и достаточно показать, что в $A / \mathfrak{p}$ нет нетривиальных идеалов. Но, если допустить противное, нужно показать, что $\mathfrak{p}$ - еще и максимальный идеал... или что существуют простые идеалы, сужение которых в само $A$ необходимо бы было простым.

[lofar]

В кольце с единицей всегда есть максимальный идеал.

[id]

lofar
Так... ага, есть максимальный идеал $\mathfrak{a}$, причем $\mathfrak{p}$ строго лежит в $\mathfrak{a}$ (ну а если это не так - то очевидно). При факторизации он и перейдет в нетривиальный. Просто оказалось.

Спасибо!