неопределённый интеграл

[leaderK]

Добрый вечер. У меня возникли проблемы при взятии следующего интеграла:

\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x^2 e^{ - \frac{{x^2 }}{2}} dx} \]

. Подскажите пожалуйста, какую провести замену. Я сколько не пытался, никак не выходит. Если бы функция была нечётная, то очевидно был бы 0. Спасибо.

-- Пт май 15, 2009 21:27:51 --

Простите, конечно несобственный

[ewert]

leaderK в сообщении #214304 писал(а):

Добрый вечер. У меня возникли проблемы при взятии следующего интеграла:

\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x^2 e^{ - \frac{{x^2 }}{2}} dx} \]

. Подскажите пожалуйста, какую провести замену. Я сколько не пытался, никак не выходит. Если бы функция была нечётная, то очевидно был бы 0. Спасибо.

Внесите $xe^{...}$ под знак дифференциала (под ним окажется чистая экспонента, с точностью до константы) и проинтегрируйте по частям -- получите более-менее интеграл Пуассона.

Это один из стандартных вариантов. Второй же (более разумный, но и требующий чуть большей дрессировки) -- принудительно вставить в показатель экспоненты самого интеграла Пуассана некий параметр перед квадратом минус икса и потом продифференцировать по этому параметру.

[leaderK]

Я сделал так: принял за дифференциал новой переменной то выражение, что Вы говорили внести под знак дифференциала и проинтегрировал по частям. Получился чистый интеграл Пуассона. Вы думаете это верно?

[ewert]

С точностью до констант, а я не в курсе, насколько Вы за ними аккуратно следили, -- верно.

[leaderK]

Спасибо большое