Неравенство треугольника для хитрого выражения.

[AD]

Для числа $x\in\mathbb{R}$ положим

$$[x]_n=\begin{cases}0&, |x|>n\\ x&,|x|\leqslant n\end{cases}$$

,

$$\{x\}_n=\begin{cases}x&, |x|>n\\ 0&,|x|\leqslant n\end{cases}$$

.

То есть $[\cdot]_n$ - что-то типа срезки по $n$ (но не отрезает то, что больше $n$, а сразу зануляет), $\{\cdot\}_n$ - то, что отрезалось, $[x]_n+\{x\}_n\equiv x$. Ясно также, что $|[x]_n|\equiv [|x|]_n$ и $|\{x\}_n|\equiv \{|x|\}_n$

Теперь для функции* $f\in L_1(X,\mu)$ определим числа

$$s_n(f)=\int\limits_X\bigl|[f(x)]_n\bigr|\,d\mu(x)$$

,

$$r_n(f)=\left|\int\limits_X\{f(x)\}_n\,d\mu(x)\right|$$

,
$p_n(f)=s_n(f)+r_n(f)$.

Вопрос: Можно ли утверждать, что $p_n(f+g)\leqslant p_n(f)+p_n(g)$?
_________________

Мои мысли: видно, что для отдельно $r_n$ неравенства треугольника нет никакого, но для $s_n$ есть с большим запасом, и причем этот запас проявляется в каком-то непонятном мне самому смысле как раз там, где нужно.


_________________
* Ну или для функции $f$, интегрируемой несобственным интегралом Римана на $(0,1]$, или что-то типа этого - если честно, я не хотел бы пользоваться абсолютной сходимостью интеграла; мне кажется, что она и не важна тут. Наверняка это может быть какой-то общий факт.

[Stagnant]

А что такое $y$?

[AD]

Пофиксил, спасибо. Сначала хотел $y$-ми всё разукрасить, а потом передумал. Ну как бы по смыслу срезаем-то мы "по оси Y"