Вычисление определенного интеграла с точностью (проверить)

[rar]

С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить определенный интеграл

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx$$

с точностью

$$\theta =0,001$$

.

Вот мое неоконченное решение:

$$e^{-x^2/2}=1+\left(-\frac{x^2}{2}\right)+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2}{2!}+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^3}{3!}+...+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^n}{n!}=\sum\limits_{n= 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}$$

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx=\int\limits_0^{1/2}\sum\limits_{n= 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}dx=\sum\limits_{n= 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\int\limits_0^{1/2}x^{2n}dx=\sum\limits_{n= 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_{0}^{1/2}=$$

$$=\sum\limits_{n= 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\left[\frac{(1/2)^{2n+1}}{2n+1}-\frac{0^{2n+1}}{2n+1}\right]=\frac{1}{2}\sum\limits_{n= 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{8^n(2n+1)n!}$$

Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся

$$u_n=\frac{1}{2\codt 8^n(2n+1)n!}$$

$$u_{n+!}=\frac{1}{2\codt 8^{n+1}(2n+3)(n+1)!}$$

$$u_n>u_{n+1}$$

и

$$\lim_{n\to\infty}u_n=0$$

, то справедливо неравенство:

$$|R_n|\leqslant u_{n+1}=\frac{1}{16\cdot 8^n(2n+3)(n+1)!}$$

Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять два члена ряда, так как

$$R_1\leqslant \frac{1}{16\cdot 8\cdot 5\cdot 2}<0,001$$

Производя вычисления, получаем

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 8\cdot 3}\approx 0,479$$

Ответ:

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx\approx 0,479\pm 0,001$$

[venco]

У вас ошибка после второго знака равенства.
Должно быть: $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}$

[mkot]

rar в сообщении #213755 писал(а):

Вот дальше как надо поступать?

Вспомнить как выглядит оценка для остатка знакочередующегося ряда (там что-то как-то около последнего члена будет).

[rar]

Исправил там кое-что.
А не могли бы более детально расписать про вычисление с заданной точностью.

[ewert]

rar в сообщении #213867 писал(а):

А не могли бы более детально расписать про вычисление с заданной точностью.

А Вы прочитайте полную формулировку признака Лейбница. В неё обычно включают и утверждение насчёт оценки остатка ряда.

Хотя бы и здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F_%D1%80%D1%8F%D0%B4

[venco]

rar в сообщении #213867 писал(а):

Исправил там кое-что.

А теперь двойка лишняя.

[rar]

Так. Исправил. Но, думаю есть ошибки. Посмотрите, пожалуйста.

-- Пт май 22, 2009 22:27:33 --

Вроде исправил. Проверьте.