2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычисление определенного интеграла с точностью (проверить)
Сообщение14.05.2009, 02:37 
С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить определенный интеграл $$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx$$ с точностью $$\theta =0,001$$.

Вот мое неоконченное решение:

$$e^{-x^2/2}=1+\left(-\frac{x^2}{2}\right)+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2}{2!}+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^3}{3!}+...+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}\right)^n}{n!}=\sum\limits_{n=
0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}$$

$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx=\int\limits_0^{1/2}\sum\limits_{n=
0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}dx=\sum\limits_{n=
0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\int\limits_0^{1/2}x^{2n}dx=\sum\limits_{n=
0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_{0}^{1/2}=$$

$$=\sum\limits_{n=
0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^nn!}\left[\frac{(1/2)^{2n+1}}{2n+1}-\frac{0^{2n+1}}{2n+1}\right]=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=
0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{8^n(2n+1)n!}$$


Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся
$$u_n=\frac{1}{2\codt 8^n(2n+1)n!}$$
$$u_{n+!}=\frac{1}{2\codt 8^{n+1}(2n+3)(n+1)!}$$
$$u_n>u_{n+1}$$ и $$\lim_{n\to\infty}u_n=0$$, то справедливо неравенство:
$$|R_n|\leqslant u_{n+1}=\frac{1}{16\cdot 8^n(2n+3)(n+1)!}$$
Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять два члена ряда, так как
$$R_1\leqslant \frac{1}{16\cdot 8\cdot 5\cdot 2}<0,001$$
Производя вычисления, получаем
$$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 8\cdot 3}\approx 0,479$$

Ответ: $$\int\limits_0^{1/2}e^{-x^2/2}dx\approx 0,479\pm 0,001$$

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление с помощью степенных рядов
Сообщение14.05.2009, 05:01 
У вас ошибка после второго знака равенства.
Должно быть: $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^nn!}$

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление с помощью степенных рядов
Сообщение14.05.2009, 08:29 
Аватара пользователя
rar в сообщении #213755 писал(а):
Вот дальше как надо поступать?

Вспомнить как выглядит оценка для остатка знакочередующегося ряда (там что-то как-то около последнего члена будет).

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление с помощью степенных рядов
Сообщение14.05.2009, 10:34 
Исправил там кое-что.
А не могли бы более детально расписать про вычисление с заданной точностью.

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление с помощью степенных рядов
Сообщение14.05.2009, 10:45 
rar в сообщении #213867 писал(а):
А не могли бы более детально расписать про вычисление с заданной точностью.

А Вы прочитайте полную формулировку признака Лейбница. В неё обычно включают и утверждение насчёт оценки остатка ряда.

Хотя бы и здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F_%D1%80%D1%8F%D0%B4

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление с помощью степенных рядов
Сообщение14.05.2009, 18:17 
rar в сообщении #213867 писал(а):
Исправил там кое-что.

А теперь двойка лишняя.

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление с помощью степенных рядов
Сообщение18.05.2009, 03:21 
Так. Исправил. Но, думаю есть ошибки. Посмотрите, пожалуйста.

-- Пт май 22, 2009 22:27:33 --

Вроде исправил. Проверьте.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group