Привести пример незамкнутого подпространства в c0

[В]

Привести пример незамкнутого подпространства в с0 (це ноль) (с0 - линейное пространство числовых последовательностей с нулевым пределом)

[Brukvalub]

А какая топология рассматривается на этом пространстве?

[В]

Замкнутость подразумевается по норме.
Норма задается как супремум по всем элементам последовательности.

[Brukvalub]

Возьмите тогда первый член n-й последовательности равным $\frac{1}{n}$, а все остальные члены всех последовательностей равными 0. Такой счетный набор последовательностей будет незамкнут. Докажите это.

[RIP]

В задаче спрашивают подпространство. Сгодится, например, $l_1$ (рассматриваемое как подмножество $c_0$).

[Brukvalub]

RIP писал(а):

В задаче спрашивают подпространство. Сгодится, например, $l_1$ (рассматриваемое как подмножество $c_0$).

А я прочел - подмножество.

[RIP]

Впрочем, я слишком усложняю. Можно же просто финитные посл-ти рассмотреть.

[В]

А подойдет, например, множество всевозможных конечных линейных комбинаций базисных векторов?
Ведь, как известно, в этом пространстве существует счетный базис.

[ewert]

Тут дело, наверное, в двусмысленности термина "подпространство". В норме оно понимается как "замкнутое линейное подмножество". Но конкретно в этом контексте -- просто как "линейное подмножество". Которое можно сочинять как угодно. Что, наверное, и сбивает с толку, ввиду тривиальности.

[В]

Подпространство линейного пространства замкнуто в конечномерных пространствах.
Здесь же как раз нужен пример не замкнутости, которого можно достичь, только в бесконечномерном случае.
А под подпространством понимается все как обычно, то есть совокупность элементов линейного пространства, такая что операция сложения этих элементов и умножения на число, не выводит нас за пределы это подпространства.

[В]

RIP в сообщении #212933 писал(а):

прочем, я слишком усложняю. Можно же просто финитные посл-ти рассмотреть.

Под финитными подразумеваются последовательности, у которых элементы начиная с некоторого номера есть нули? Я правильно понимаю?

[RIP]

В писал(а):

Под финитными подразумеваются последовательности, у которых элементы начиная с некоторого номера есть нули? Я правильно понимаю?

Да.

[ewert]

В в сообщении #212941 писал(а):

А под подпространством понимается все как обычно, то есть совокупность элементов линейного пространства, такая что операция сложения этих элементов и умножения на число, не выводит нас за пределы это подпространства.

Это не подпространство в точном смысле, а вот именно линейное подмножество. И очевидная идея несохранения замкнутости такого подмножества сводится именно к финитности. Которая, естественно, замыканием не поддерживается.

[В]

Спасибо.
Действительно, по норме супремума, с помощью финитных последовательностей можно сколь угодно близко подобраться к нефинитной, которая лежит в с0.
Благодарю всех за участие.

[В]

ewert в сообщении #212949 писал(а):

замкнутое линейное подмножество

Можешь дать ссылочку или книжку, где в определении линейного подпространства есть замкнутость.
Просто впервые слышу о таком.