Интегрирование линейного НОДУ методом вариации постоянных

[rar]

Есть задача с таким условием:

Найти общее решение уравнения

$$y''-4y'+4y=e^{2x}/x^3$$

используя характеристическое уравнение и метод вариации произвольных постоянных.

Что такое характеристическое уравнение и как с помощью оного решать?

[Brukvalub]

Учебники полистайте.

[rar]

Вот, что-то я не могу найти такой темы "характеристическое уравнение". Не могли бы подкинуть материальчик?

[rar]

Найти общее решение уравнения

$$y''-4y'+4y=\frac{e^{2x}}{x^3}$$

используя характеристическое уравнение и метод вариации произвольных постоянных.

$$r^2-4r+4=0$$

$$(r-2)^2=0$$

$$r=2$$

- корень характеристического уравнения кратности 2

$$y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$$

$$C_1'(x)e^{2x}+C_2'(x)xe^{2x}=0,$$

$$C_1'(x)2e^{2x}+C_2'(x)(e^{2x}+2xe^{2x})=\frac{e^{2x}}{x^3}$$

Решение системы уравнений:

$$С_1'(x)=-\frac{1}{x^2},$$

(1)

$$C_2'(x)=\frac{1}{x^3}$$

(2)

1)

$$\int d[C_1(x)]=-\int x^{-2}dx$$

$$C_1(x)=\frac{1}{x}$$

2)

$$\int d[C_2(x)]=\int x^{-3}dx$$

$$C_2(x)=-\frac{1}{2x^2}$$

Частное решение:
черту сверху

$$y=\frac{1}{x}e^{2x}-\frac{1}{2x}e^{2x}=\frac{1}{2x}e^{2x}$$

Общее решение:

$$y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+\frac{1}{2x}e^{2x}$$

Ответ:

$$y=\left(C_1+C_2x+\frac{1}{2x}\right)e^{2x}$$

.

[ewert]

Читайте раздел "Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами". То алгебраическое (не дифференциальное) уравнение для вспомогательного параметра, которое там появится -- и будет характеристическим.

[GAA]

rar писал(а):

Re: Проверьте дифф. ур.

У меня то же решение и ответы совпадают.
rar, не создавайте несколько веток, посвященных решению одной задачи. Ветки соединены.