Помогите найти свертку функций (операционное исчисление)

[Verum]

Нужно найти свертку двух функций

$$ \[ f(x) = e^x ,g(x) = \sin x \] \[ \left( {f*g} \right)\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {e^x \sin (t - x)dx} \] $$

Решил воспользоваться теоремой о том что изображение свертки есть произведение изображений этих функций.

$$ e^x = \frac{1} {{p - 1}},\sin x = \frac{1} {{p^2 + 1}} $$

значит изображение свертки

$$ \left( {f*g} \right)\left( t \right) = \frac{1} {{\left( {p - 1} \right)\left( {p^2 + 1} \right)}} = \frac{1} {2}\frac{1} {{p - 1}} - \frac{1} {2}\left( {\frac{p} {{p^2 + 1}} + \frac{1} {{p^2 + 1}}} \right) $$

Непойму как обратно перейти к оригиналу он же должен зависеть от t а зависит от х? или нет? подскажите.

$$ \left( {f*g} \right)\left( t \right) = \frac{1} {2}\left( {e^x - \sin x - \cos x} \right) $$

[AD]

А ничего, что интеграл при всех $t$ расходится?

Добавлено спустя 1 минуту 41 секунду:

Вообще, конечно, вопрос гораздо интереснее, чем "а что если $x$ не есть число овец?"

[V.V.]

Под сверткой обычно понимают
$f*g=\int\limits_0^x f(t)g(x-t)\,dt$.

[Verum]

Я вот тоже не могу этого понять, гдето пишут от бесконечности до бесконечности а гдето от 0 до t, вроде разобрался с переменными но с пределами интегрирования непонятно.

[antbez]

А зачем Вам тут вообще операционное исчисление, если интеграл (разумеется, в конечных пределах) вычисляется с помощью двойного использования ф-лы инт-ия по частям?

[V.V.]

antbez писал(а):

А зачем Вам тут вообще операционное исчисление, если интеграл (разумеется, в конечных пределах) вычисляется с помощью двойного использования ф-лы инт-ия по частям?

Ну, наверное, учебная задача по теме "Операционное исчисление". Такое бывает.

[ewert]

Verum в сообщении #211472 писал(а):

Я вот тоже не могу этого понять, гдето пишут от бесконечности до бесконечности а гдето от 0 до t, вроде разобрался с переменными но с пределами интегрирования непонятно.

Очень просто. Формально интеграл -- да, по всей оси. Но фактически те экспоненты и синусы понимаются не буквально, а будучи умноженными на функцию Хэвисайда. И, соотв., тот интеграл превращается в ровно такой же, но -- лишь по промежутку $[0;t].$

[Verum]

Тогда

$$ \[ t \to \infty \] $$

чтоли?

А почему свертка не берется как

$$ \[ \int\limits_0^l {f(x)g(t - x)dx} \] $$

?

Во всех случаях к свертке можно применять теорему о умножении изображений? или только при случае

$$ \[ \int\limits_0^t {f(x)g(t - x)dx} \] $$

?

[ewert]

Verum писал(а):

А почему свертка не берется как

$$ \[ \int\limits_0^t {f(x)g(t - x)dx} \] $$

?

В операционном исчислении принято под $\sin x$ по умолчанию понимать $\chi(x)\sin x$, под $e^x$ -- $\chi(x)e^x$ и т.д. Тогда все интегралы можно формально переписать как вычисляемые по всей оси. В частности,

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^x\sin(t-x)dx\equiv\int_{-\infty}^{+\infty}\chi(x)e^x\cdot\chi(t-x)\sin(t-x)dx\equiv\int_{0}^{t}e^x\sin(t-x)dx.$$

Просто потому, что $\chi(x)\cdot\chi(t-x)$ (по переменной $x$) -- это характеристическая функция отрезка $[0;t].$