Мультипликативные функции

[Руст]

Найти все мультипликативные строго монотонно растущие функции f(n) из N (натурального ряда) в R (действительные числа. Мультипликативность понимается в смысле теории чисел:
$(m,n)=1\Longrightarrow f(mn)=f(m)f(n).$

[maxal]

Докажем, что функция $f(n)$ сильно мультипликативна, т.е. $f(mn)=f(m)f(n)$ для любых натуральных $m,n$. Для этого достаточно показать, что $f(p^k)=f(p)^k$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$.

Доказательство для $k=2$. Зафиксируем произвольное простое $p>2$ (случай $p=2$ рассматривается аналогично).
Пусть $a<b$ - некоторые два числа, не делящиеся на $p$.
Тогда из неравенства $p^2 a < a p^2 + p$ следует
$f(p^2) f(a) < f(p)f(ap+1) < f(p)f(bp)=f(p)^2 f(b)$
или
$\frac{f(p^2)}{f(p)^2} < \frac{f(b)}{f(a)}$.

Рассмотрим последовательность вида $a_1 < a_2 < ... < a_t < 2 a_1$, где $a_1$ - нечетное число и все $a_i$ не делятся на $p$. Заметим, что засчет выбора $a_1$ количество элементов $t$ может быть сколь угодно большим. Имеем
$\left(\frac{f(p^2)}{f(p)^2}\right)^t < \frac{f(a_2)}{f(a_1)}\cdot\frac{f(a_3)}{f(a_2)}\cdot\dots\cdot\frac{f(2a_1)}{f(a_t)} = \frac{f(2a_1)}{f(a_1)} = f(2).$
Поэтому для любого $t$ имеем $\frac{f(p^2)}{f(p)^2} < f(2)^{1/t}$, что влечет $\frac{f(p^2)}{f(p)^2} \leq 1$.
Аналогично доказывается обратное неравенство $\frac{f(p^2)}{f(p)^2} \geq 1$, и они вкупе дают $f(p^2)=f(p)^2$.

Это доказательство легко распространяется на случай произвольного натурального $k$, т.е. для любого $p$ и любого $k$ мы имеем $f(p^k)=f(p)^k$.

Остальное уже очевидно. Для того, чтобы сильно мультипликативная функция была строго монотонной необходимо и достаточно, чтобы $f(n)=n^{\alpha}$ для некоторого $\alpha$.

[Руст]

Осталось заметит, что сильно мультипликативная монотонная функция есть $n^a$ для некоторого действительного числа а.

[maxal]

Руст писал(а):

Осталось заметит, что сильно мультипликативная монотонная функция есть $n^a$ для некоторого действительного числа а.

Да, исправился.