2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мультипликативные функции
Сообщение18.04.2006, 19:39 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Найти все мультипликативные строго монотонно растущие функции f(n) из N (натурального ряда) в R (действительные числа. Мультипликативность понимается в смысле теории чисел:
$(m,n)=1\Longrightarrow f(mn)=f(m)f(n).$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2006, 09:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Докажем, что функция $f(n)$ сильно мультипликативна, т.е. $f(mn)=f(m)f(n)$ для любых натуральных $m,n$. Для этого достаточно показать, что $f(p^k)=f(p)^k$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$.

Доказательство для $k=2$. Зафиксируем произвольное простое $p>2$ (случай $p=2$ рассматривается аналогично).
Пусть $a<b$ - некоторые два числа, не делящиеся на $p$.
Тогда из неравенства $p^2 a < a p^2 + p$ следует
$f(p^2) f(a) < f(p)f(ap+1) < f(p)f(bp)=f(p)^2 f(b)$
или
$\frac{f(p^2)}{f(p)^2} < \frac{f(b)}{f(a)}$.

Рассмотрим последовательность вида $a_1 < a_2 < ... < a_t < 2 a_1$, где $a_1$ - нечетное число и все $a_i$ не делятся на $p$. Заметим, что засчет выбора $a_1$ количество элементов $t$ может быть сколь угодно большим. Имеем
$\left(\frac{f(p^2)}{f(p)^2}\right)^t < \frac{f(a_2)}{f(a_1)}\cdot\frac{f(a_3)}{f(a_2)}\cdot\dots\cdot\frac{f(2a_1)}{f(a_t)}  = \frac{f(2a_1)}{f(a_1)} = f(2).$
Поэтому для любого $t$ имеем $\frac{f(p^2)}{f(p)^2} < f(2)^{1/t}$, что влечет $\frac{f(p^2)}{f(p)^2} \leq 1$.
Аналогично доказывается обратное неравенство $\frac{f(p^2)}{f(p)^2} \geq 1$, и они вкупе дают $f(p^2)=f(p)^2$.

Это доказательство легко распространяется на случай произвольного натурального $k$, т.е. для любого $p$ и любого $k$ мы имеем $f(p^k)=f(p)^k$.

Остальное уже очевидно. Для того, чтобы сильно мультипликативная функция была строго монотонной необходимо и достаточно, чтобы $f(n)=n^{\alpha}$ для некоторого $\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2006, 09:46 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Осталось заметит, что сильно мультипликативная монотонная функция есть $n^a$ для некоторого действительного числа а.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2006, 10:09 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст писал(а):
Осталось заметит, что сильно мультипликативная монотонная функция есть $n^a$ для некоторого действительного числа а.

Да, исправился.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group