Как взять модуль от сложной комплексной функци?

[Basper]

Надо взять модуль от следующей функции:

$ \[ \begin{gathered} b(t) = \frac{{iha}} {{1 - \sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\phi } }} \cdot \left( {1 - e^{\frac{{ - t\left( {1 - \sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\phi } } \right)}} {{T\sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\phi } }}} } \right) \hfill \\ \] $

$i$ - мнимая единица.
$h$,$a$,$\alpha$ ,$\phi$ - константы.

Смотрел в книгах, посвященных комплексному анализу, там рассматриваются простые примеры. В общем не получается его решить. Помогите с решением пожалуйста или намекните какие книги стоит изучить, чтобы понять как взять модуль от этой функции.
Непонятно, что делать с этой кучей экспонент. Была бы одна, то домножил бы на комплексно-сопряженное и взял корень, а так непонятно что с этим делать.

[ewert]

Брать надо молча, постепенно, подвыражение за подвыражением. Вашу же запись понять трудно. Прежде всего, предварите все сокращения типа экспонент, корней и греческих букв обратным слэшем "\". А заодно и замените "exp()" на "e^{}". Да и использование $j$ вместо $i$ прочтение как-то не облегчает (для математикоговорящих).

[Basper]

ewert писал(а):

Брать надо молча, постепенно, подвыражение за подвыражением. Вашу же запись понять трудно. Прежде всего, предварите все сокращения типа экспонент, корней и греческих букв обратным слэшем "". А заодно и замените "exp()" на "e^{}". Да и использование $j$ вместо $i$ прочтение как-то не облегчает (для математикоговорящих).

исправил формулу. Постепенно это как? Не очень понятно. Я так понимаю, модуль произвдения равен произведению модулей? Но что делать с экспонентой в числителе и знаменателе??

[ewert]

Да ничего особенного не делать. Просто тупо домножить числитель и знаменатель показателя экспоненты на е в степени "плюс и фи", как и положено по канону. После чего перемножить всё в числителе, внешнюю экспоненту расписать опять же по формуле Эйлера -- и взять модуль от скобки. Получится, конечно, нечто многоэтажное, но что уж тут поделать, лишь бы получилось.

(Возможно, кто-то и сможет предложить нечто более изящное, но...)

[Basper]

ewert писал(а):

Да ничего особенного не делать. Просто тупо домножить числитель и знаменатель показателя экспоненты на е в степени "плюс и фи", как и положено по канону. После чего перемножить всё в числителе, внешнюю экспоненту расписать опять же по формуле Эйлера -- и взять модуль от скобки. Получится, конечно, нечто многоэтажное, но что уж тут поделать, лишь бы получилось.

(Возможно, кто-то и сможет предложить нечто более изящное, но...)

С этим я разобрался:

$ \[ \frac{{iha}} {{1 - \sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\phi } }} \]$

А вот что делать с этим не въезжаю.
$ \[ \left( {1 - e^{\frac{{ - t\left( {1 - \sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\phi } } \right)}} {{T\sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\phi } }}} } \right) \] $

Если бы не было 1, то проблем с решением не было бы.
Сдается мне, что если я домножу числитель и знаменатель на е в степени "плюс и фи", то "фи" вылезет в другом месте.

[vlad239]

$\overline{e^z}=e^{\bar z}$

Влад.

[Basper]

vlad239 писал(а):

$\overline{e^z}=e^{\bar z}$

Влад.

Получается надо сделать так:
$ \[ \left( {1 - e^{\frac{{ - t\left( {1 - \sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\varphi } } \right)}} {{T\sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\varphi } }}} } \right) \cdot \left( {1 - e^{\frac{{ - t\left( {1 - \sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha + i\varphi } } \right)}} {{T\sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha + i\varphi } }}} } \right) = \left| {b^2 (t)} \right| \] $

то есть домножить на

$ \[ \left( {1 - e^{\frac{{ - t\left( {1 - \sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha + i\varphi } } \right)}} {{T\sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha + i\varphi } }}} } \right) \] $
Или я ошибаюсь?

[Утундрий]

$$\[ \begin{gathered} f \equiv \frac{{ - t\left( {1 - \sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\varphi } } \right)}} {{T\sqrt {1 - h^2 } e^{ - \alpha - i\varphi } }} = \frac{t} {T}\left( {1 - \frac{{e^{\alpha + i\varphi } }} {{\sqrt {1 - h^2 } }}} \right) = \frac{t} {T}\left( {1 - \frac{{e^\alpha \cos \varphi }} {{\sqrt {1 - h^2 } }}} \right) - i\frac{t} {T}\frac{{e^\alpha \sin \varphi }} {{\sqrt {1 - h^2 } }} = \operatorname{Re} f + i\operatorname{Im} f \hfill \\ 1 - e^f = 1 - e^{\operatorname{Re} f} \left[ {\cos \left( {\operatorname{Im} f} \right) + i\sin \left( {\operatorname{Im} f} \right)} \right] = 1 - e^{\operatorname{Re} f} \cos \left( {\operatorname{Im} f} \right) - ie^{\operatorname{Re} f} \sin \left( {\operatorname{Im} f} \right) \hfill \\ \left| {1 - e^f } \right|^2 = \left[ {1 - e^{\operatorname{Re} f} \cos \left( {\operatorname{Im} f} \right)} \right]^2 + \left[ {e^{\operatorname{Re} f} \sin \left( {\operatorname{Im} f} \right)} \right]^2 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

[Basper]

Понял. Спасибо большое