Две задачи из сборника Гюнтер, Кузьмин.

[_v_l]

Добрый день.

Подбирая интересные задачи для студентов нашёл две интересные задачи из сборника Гюнтер, Кузьмин. Привожу так, как они есть в самом сборнике:
Доказать равенства:
33.
$\ctg{x}+\ctg\Big(x+\dfrac{\pi}{n}\Big)+\ctg\Big(x+\dfrac{2\pi}{n}\Big)+\dots+\ctg\Big(x+\dfrac{n-1}{n}\pi\Big)=n\ctg{n x}$.
34.
$\sin{x}\sin\Big(x+\dfrac{\pi}{n}\Big)\sin\Big(x+\dfrac{2\pi}{n}\Big)\dots\sin\Big(x+\dfrac{n-1}{n}\pi\Big)=\sin{nx}$.

В задачей 34. не в порядке с самого начала: нехватает множителя справа, задача 33. справедлива. В этом можно убедиться рассматривая её корни и полюса. Однако задачи из начала сборника (отдел IV Высшая алгебра, $\S 1$ Комплексные числа), поэтому должна иметь "простое" решение.

Может кто-нибудь решал задачи из этого сборника и может подсказать в чём ключ к задаче, или посмотрит на эти две задачи сейчас?
Уверен, что должно быть простое и элегантное решение этих двух задач (к тому же мне кажется, что они взаимосвязаны).

Будут ждать предложений :-))

[maxal]

Обе задачи красиво решаются через через тождество Муавра и теорему Виета.
Нужно всего лишь найти многочлен, корнями которого в первом случае являются $\ctg\left(x + \frac{k\pi}{n}\right)$, а во втором - $\sin\left(x+\frac{k\pi}{n}\right)$.

[TOTAL]

Продифференцируйте $34$ и получите $33$

[_v_l]

maxal писал(а):

Обе задачи красиво решаются через через тождество Муавра и теорему Виета.

Спасибо. Попробую. К сожалению, на данный момент ссылки не работают (wolfram.com is off-line). Под тождеством Муавра вы имеете в виду формулу Муавра:
$(\cos\phi+\imath\sin\phi)^{n}=\cos n\phi+\imath\sin n\phi$,
а теорема Виета --- известная теорема о корнях полиномов?

TOTAL писал(а):

Продифференцируйте $34$ и получите $33$.

Не совсем понял что получиться, но попробую.

Спасибо. Кстати, никто не заметил ошибки в $34$?

[_v_l]

TOTAL писал(а):

Продифференцируйте $34$ и получите $33$.

Если обозначить левую часть 34 как $f(x)$, то дифференцировать нужно $\ln f(x)$. Спасибо, не заметил.