Помогите решить. Степенной ряд

[kazak131]

Помогите решить: Разложить в степенной ряд функцию f(x)=arctg(x) и вычислить сумму ряда ((-1)^(n+1))/(2n-1) от n=1 до бесконечности

[photon]

Такая сумма?
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{( - 1)^{n + 1} }} {{2n - 1}}} $

[Genrih]

kazak131 писал(а):

Помогите решить: Разложить в степенной ряд функцию f(x)=arctg(x) ...

Не будет ли легче разложить производную ?

[kazak131]

photon Такая.
Genrih Такое задание

[VSSISTU]

Я думаю ваша сумма будет выглядеть так:
$S(x)=\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{( - 1)^{n + 1} } x^{2n-1}} {{2n - 1}}} S'(x)=\sum\limits_{n = 1}^\infty {{( - 1)^{n + 1} } x^{2n-3}} S'(x)=\frac {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{( - 1)^{n + 1} } x^{2n}}} {x^3} Sum=\sum\limits_{n = 1}^\infty {{( - 1)^{n + 1} } x^{2n}}}=\frac {1}{1+x^2}\Longrightarrow S'(x)=\frac {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{( - 1)^{n + 1} } x^{2n}}} {x^3}=\frac {1}{x^3(1+x^2)}$ Интегрируя получаем $ S(x)=\frac {-1}{2x^2}- ln(x)+\frac{ln(1+x^2)}{2} Исходная сумма есть сумма S в точке 1, т.е S(1) $ S(1)= \frac {-1}{2} + \frac{ln(2)}{2}$
Удачи