Остановленный мартингал

[Bridgeport]

Пусть $(M_t, F_t)$ мартингал и $T$ - момент остановки. Доказать: $(M_{T\wedge t}, F_t)$ мартингал.

подайте идею?!

[--mS--]

Например, теорема Дуба, в которой в качестве моментов остановки взяты $\tau_1=\min(T,t_1)$ и $\tau_2=\min(T,t_2)$, где $t_1<t_2$, сразу даёт требуемое.
См. параграф 2 (О сохранении свойства мартингальности при замене времени на случайный момент) главы 7 учебника А.Н.Ширяева "Вероятность" или параграф 2 (О сохранении свойства быть мартингалом при замене времени на случайное) гл.14 учебника А.А.Боровкова "Теория вероятностей".

[Bridgeport]

Вот что требуется

$E[M_{T\wedge t}|F_s]=M_{T\wedge s}$

Вот что я получил из вашего предложения:

$E[M_{T\wedge t_2}|F_{T\wedge t_1}]=M_{T\wedge t_1}$

Как это свести к первой строке?

Насколько я понимаю из теоремы Дуба следует что $(M_{T\wedge t}, F_{T \wedge t})$ есть мартингал, но мне требуется другое.

[--mS--]

Из теоремы Дуба следует также, что (при $t > s$) на событии $\{T\wedge t \geq s\}$

$$\mathsf E(M_{T\wedge t} | F_s) = M_s = M_{T\wedge s}$$

.
Для этого в качестве моментов остановки можно взять $\tau_1 = s$, $\tau_2 = T\wedge t$.

На событии же $\{T\wedge t < s\}$ получаем:

$$\mathsf E(M_{T\wedge t} | F_s) = M_{T\wedge t} = M_{T\wedge s}$$

.

[Bridgeport]

Огромное спасибо!