Дифференциальное уравнение y*y"=-x

[Eiktyrnir]

Уважаемые коллеги. Помогите разобраться.
Есть одно интересное диф. ур-ие.
$$y^{''}=-xy^{-1}
Один из способов понизить порядок существует в случае (когда имеется и функция и переменная и производные) если уравнение однородно по $$y, т.е. к примеру хотя бы так
$$y^{''}=-xy
тогда подойдет
$$y^{'}=z(x)y(x)
и все легко и просто.
А вот в данном случае (когда неоднородно по $$y), что делать?
Что пробывал (если мои потуги можно назвать попытками)...подобрать решение и попробывать потом через определитель Вронского найти второе решение и записать тогда как
$$y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)
подобрать решение типа $$y_{1}(x)=ax^{n} - немогу подобрать - не идет такой подбор, пробывал $$y_{1}(x)=ae^{n}, где $$n любое целое число (кроме $$0 конечно) - тоже не то...
Не подскажите уважаемые коллеги, что можно в данном случае предпринять? Все мои ограниченные познанния не дают мне возможности даже подступиться к этому дифуру... Заранее признателен!

Прошу прощения у модераторов, если дублирую топик.

[Хорхе]

Одно частное решение найти легко - это степенная функция с некоторой константой.

Добавлено спустя 7 минут 23 секунды:

Вот тут об этом уравнении хорошо написано.

[Eiktyrnir]

Хорхе писал(а):

Одно частное решение найти легко - это степенная функция с некоторой константой.

Добавлено спустя 7 минут 23 секунды:

Вот тут об этом уравнении хорошо написано.

Огромное вам спасибо!

[V.V.]

Eiktyrnir писал(а):

Что пробывал (если мои потуги можно назвать попытками)...подобрать решение и попробывать потом через определитель Вронского найти второе решение и записать тогда как
$$y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)

У Вас нелинейное уравнение. Соответственно, решение нельзя записать в таком виде. И про вронскиан думать странно.

[Eiktyrnir]

V.V. писал(а):

Eiktyrnir писал(а):

Что пробывал (если мои потуги можно назвать попытками)...подобрать решение и попробывать потом через определитель Вронского найти второе решение и записать тогда как
$$y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)

У Вас нелинейное уравнение. Соответственно, решение нельзя записать в таком виде. И про вронскиан думать странно.

Да вы правы. Увы теряю сноровку...

[vlad239]

А вот Филиппов рекомендует воспользоваться обобщенной однородностью уравнения.

$y''y=-x$

Поскольку при замене $x\mapsto kx, y\mapsto k^{3/2}y, y''\mapsto k^{3/2-2}y''$ уравнение переходит в себя, следует взять новую переменную $t$ и функцию $z$, $x=e^t$, $y=ze^{3t/2}$. Тогда после замены независимая переменная исчезнет и можно будет понизить порядок стандартным способом.

Влад.

[Eiktyrnir]

vlad239 писал(а):

А вот Филиппов рекомендует воспользоваться обобщенной однородностью уравнения.

$y''y=-x$

Поскольку при замене $x\mapsto kx, y\mapsto k^{3/2}y, y''\mapsto k^{3/2-2}y''$ уравнение переходит в себя, следует взять новую переменную $t$ и функцию $z$, $x=e^t$, $y=ze^{3t/2}$. Тогда после замены независимая переменная исчезнет и можно будет понизить порядок стандартным способом.

Влад.

Извините ради Бога за мое невежество. Я тоже смотрел Филиппова, но я не понял как это в обобщенном смысле. А как это у вас получилось, что при замене $x\mapsto kx, то y\mapsto k^{3/2}y и y''\mapsto k^{3/2-2}y''$
Поясните для тех кто в танке пожалуйста?
Дальше понятно про то, что надо так положить $x=e^t$, $y=ze^{3t/2}$ - это следует из подстановки о которой говорит далее Филиппов.

[Утундрий]

\[ y'' \equiv \frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} \to \frac{{k^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \cdot d^2 y}} {{k^2 \cdot dx^2 }} = k^{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} - 2} \cdot y'' \]

[vlad239]

Eiktyrnir писал(а):

А как это у вас получилось, что при замене $x\mapsto kx, то y\mapsto k^{3/2}y и y''\mapsto k^{3/2-2}y''$

Так ведь это тоже написано в Филиппове. Только там в общем виде, с параметром $m$ - степень изначально неизвестна, я ее подобрал.

Влад.

[GAA]

У меня 3/2 не получается.

Хоть уравнение и допускает понижение порядка ($x=e^t$, $y=ze^{mt}$, где $m(m-2)=1$, например, $m= 1 + \sqrt 2$) как обобщенно однородное, однако, в результате понижения у меня получается не «самое вкусное» уравнение
$vv_z’ + (2m-1)v + m(m-1)z = 1/z$, $v = dz/dt$.
Не знаю, имеет ли преимущество такая замена по сравнению с заменой по ссылке, приведенной Хорхе .

[vlad239]

Откуда может браться $m(m-2)$??? Я всегда думал, что при умножении степеней их показатели складываются.

Влад.

[GAA]

Спасибо, vlad239. Я ошибся. Теперь $m=3/2$ и у меня получается.

// Последовавшее 6.05.09 за этим сообщением сообщение BanDitа выделено 7.05.09 в отдельную тему и перемещено в Карантин. / GAA

[Eiktyrnir]

vlad239 писал(а):

Eiktyrnir писал(а):

А как это у вас получилось, что при замене $x\mapsto kx, то y\mapsto k^{3/2}y и y''\mapsto k^{3/2-2}y''$

Так ведь это тоже написано в Филиппове. Только там в общем виде, с параметром $m$ - степень изначально неизвестна, я ее подобрал.

Влад.

Влад еще раз огромное вам спасибо за просвещение и разъяснения. Теперь и мне все ясно. Выражаю благодарность искреннюю в том, что вы мне помогли разобраться в этом уравнении. Спасибо. Всем кто помогал и участвовал - выражаю также искреннюю благодарность.