QR алгоритм поиска собственных значений

[droid]

Здравствуйте!

Возникла задача вычисления наименьшего собственного значения и соответствующего собственного вектора для симметричной матрицы. При использовании QR алгоритма советуют, с помощью(к примеру) QR разложения привести ее к трехдиагональной матрице, а потом воспользоваться уже ей. У меня возник смутный вопрос, а почему бы не привести симметричную матрицу сразу к диагональной, ведь это всегда можно сделать, и тогда сразу можно получить все собственные вектора и числа, при этом количество вычислений будет меньше. Не подскажите, так можно сделать?

[Fsv]

Я так понимаю, ответ уже не нужен?
Как Вы собираетесь сделать диагональную матрицу? Получить трехдиагональную, а затем методом вращений "убить" две "лишние" диагонали? Если да, то так не получится. Если интересно, могу объяснить почему.

У меня вот другая проблема. QR-алгоритм не сходится Причем на матрицах, скажем, 10x10 отрабатывает нормально, а на матрицах, например, 20x20 не сходится. Может кто с такой проблемой встречался уже?

[Евгений Машеров]

Потому, что за конечное число ортогональных преобразований привести матрицу к диагональной не удастся. К трёхдиагональной - можно, а к диагональной, вообще говоря, нет.
Если же ставить задачу, как приближённую, и довольствоваться снижением нормы внедиагональных элементов до заданного порога, то это вполне работающий метод. Предложен Якоби, ЕМНИП в 1848. Очень надёжен, просто программируется, гарантирует великолепную ортогональность собственных векторов - но медленен. Если нужны все СВ и СЗ, притом ортогональность их чрезвычайно важна - то его использование может быть оправдано. Если нужны одни только СЗ, тем более их часть - недопустимо долго.

[Ajabsandal]

droid в сообщении #209501 писал(а):

Здравствуйте!

Возникла задача вычисления наименьшего собственного значения и соответствующего собственного вектора для симметричной матрицы. При использовании QR алгоритма советуют, с помощью(к примеру) QR разложения привести ее к трехдиагональной матрице, а потом воспользоваться уже ей. У меня возник смутный вопрос, а почему бы не привести симметричную матрицу сразу к диагональной, ведь это всегда можно сделать, и тогда сразу можно получить все собственные вектора и числа, при этом количество вычислений будет меньше. Не подскажите, так можно сделать?

В общем случае симметричной матрицы спектр СЗ может быть комплексным. По этой причине для такой матрицы нет преобразования перевода в диагональную.

[vitaly333]

Цитата:

Возникла задача вычисления наименьшего собственного значения и соответствующего собственного вектора для симметричной матрицы.

А почему бы не использовать для этого алгоритм обратных итераций? Он именно для этого и предназначен.

[ewert]

Ajabsandal в сообщении #292859 писал(а):

В общем случае симметричной матрицы спектр СЗ может быть комплексным.

Не может.

Ajabsandal в сообщении #292859 писал(а):

По этой причине для такой матрицы нет преобразования перевода в диагональную.

Комплексность никак не связана с диагонализуемостью и ни в каком смысле.