УРвЧП в нецилиндрической области

[MaximKat]

Есть такая статья, про псевдопараболические уравнения в нецилиндрической области (автор - Глазатов).

Рассматривается задача $u_t-u_{xx}-u_{xxt}=f$, $u|_{t=0}=u_0$, $u|_\Gamma=0$ в области (расширяющейся) $Q$.
Область дополняется до цилиндра $Q_T$ и рассматривается новая задача $u^\varepsilon_t-u^\varepsilon_{xx}-u^\varepsilon_{xxt}+\varepsilon^{-1}Pu^\varepsilon=f$, $u^\varepsilon|_{t=0}=u_0$, $u^\varepsilon|_{\Gamma_T}=0$ в $Q_T$.
Дальше доказываются равномерные по $\varepsilon$ оценки на $u$ и производные и выполняется предельный переход $\varepsilon\to 0$. В общем все довольно стандартно. В результате получаем, что $u\in L_2(0,T;\mathring W^1_2(\Omega))$, $u_t\in L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$ ($\Omega$ - проекция $Q_T$ на пространственные координаты), а также $u=0$ п.в. в $G=Q_T\setminus Q$. Значит в одномерном случае $u(\cdot,\tau)\in W^1_2(\Omega)\subset C(\Omega)$, откуда $u|_\Gamma=0$.

Теперь, внимание, вопрос! Раз $u=0$ в $G$, то и $u_t=0$ в $G$, значит, аналогично предыдущим рассуждениям $u_t|_\Gamma=0$, но этого в исходной постановке не было и можно придумать задачу, в которой данное условие выполняться не будет. Где ошибка?

[Gafield]

Я не все понял и $P$ не определено. Оlнако, если продолжить решение нулем в $Q_T$, то производная по $u_t$ на $\Gamma$, возможно, не существует.

[Dan B-Yallay]

MaximKat писал(а):

... В результате получаем, что $u\in L_2(0,T;\mathring W^1_2(\Omega))$, $u_t\in L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$ ...

А у меня вопрос по обозначениям и не в тему, тем не менее:

Существует $u_t\in L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$, почему $u\in L_2(0,T;\mathring W^1_2(\Omega))$ а не в $ W^1_2(0,T;W^1_2(\Omega))$? Или это одно и то же пространство?

Если нет, и $u\in L_2(0,T;\mathring W^1_2(\Omega))$ то что такое производная $u_t$?


PS Пространства Соболева в книге Эванса обозначаются слегка по-другому. Поэтому и вопрос

[MaximKat]

Gafield писал(а):

Я не все понял и $P$ не определено. Оlнако, если продолжить решение нулем в $Q_T$, то производная по $u_t$ на $\Gamma$, возможно, не существует.

Подробнее в самой статье. Р - оператор штрафа, например проекционный оператор на множество достаточно гладких функций равных 0 в $G$
Если $u_t$ из $L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$, то след на $\Gamma$ существует, разве нет?

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Dan B-Yallay в сообщении #209298 писал(а):

А у меня вопрос по обозначениям и не в тему, тем не менее:

Одно другому не мешает. $u$ из одного пространства, а ее производная существует и из другого пространство. Вот такое вот обозначение.

[Gafield]

Цитата:

Если $u_t$ из $L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$, то след на $\Gamma$ существует, разве нет?

Будет. Если определение пространства стандартное. Может, автор определил его как-нибудь по-другому. Иначе, действительно, получается противоречие при дополнительном условии, что решение единственно.

[MaximKat]

Вроде стандартное. Единственность тоже доказывается. Бардак. Написал автору - молчит А как мне теперь диплом писать?