Многомерное шкалирование помогите решить

[And87]

Имеется в виду классическая модель Торгерсона. На одном из шагов после нахождения матрицы с двойным центрированием( \delta^*) требуется решить уравнение \delta^*=X X^T. Так вот как из этого уравнения получить матрицу X? Примечание: матрица \delta^* квадратная симметричная.

[Полосин]

Матрица $\delta^*$ должна быть еще и неотрицательной. Решением уравнения служат все матрицы вида $X=AQ$, где $A=A^T\ge0$ - корень из $\delta^*$ (определяется однозначно), $Q$ - произвольная ортогональная ($Q^{-1}=Q^T$) матрица. Матрицу $A$ можно искать различными способами, например, итерационно.

[And87]

С чего бы это матрице \delta^* быть неотрицательной? В лекции у меня об этом ничего не сказано, да и в примере получаются отрицательные значения. Просто даже попробуйте перемножить матрицу, содержащую отрицательные значения, на транспонированную ей.

[Полосин]

Матрица $B$ называется неотрицательной, если $(Bx,x)\ge0$ для любого $x$. В нашем случае $(\delta^*x,x)=(X^Tx,X^Tx)\ge0$.

[And87]

Ну вообще в науке матрица Bназывается неотрицательной, если все ее элементы b_i_j являются положительными(неотрицательными). Ваше объяснение для меня немножно непонятно. Не могли бы вы просто на примере решить такое уравнение.Матрица $\delta^*$
$ \left( \begin{array}{cccc} 7,13 & -2,61 & -2 & -2,53 \\ -2,61 & 1,04 & 0,84 & 0,73 \\ -2 & 0,84 & 0,71 & 0,44 \\ -2,53 & 0,73 & 0,44 & 1,36 \end{array} \right)$

[Полосин]

And87 писал(а):

Ну вообще в науке матрица Bназывается неотрицательной, если все ее элементы b_i_j являются положительными(неотрицательными).

Потрясающе...
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 1%86%D0%B0

[And87]

Вот кто еще должен удивляться! Положительная и положительно определенная матрица это по-вашему одно и тоже?

[Ev_Nekrasova]

Не очень понятно - как решить уравнение \delta^*=X X^T предложенным способом.
целью задачи торгерсона является получение P координат для n объектов. матрица дельта размера n*n, т.к. это расстояния между n объектами. а p-количество координат для n-объектов в p-мерном пространстве. p<n. т.е. надо понизить размерность. и Х будет - прямоугольной матрицей.
В одной работе мне встретилось замечание, что решение было найдено с использованием метода главных факторов. Но метод главных факторов применяется для решения систем линейных уравнений. или я не права???

Почему в данном случае не проще воспользоваться разложением Холецкого? получим верхнетреугольные матрицы. НО! размерность мы не уменьшим!!!!

Если AND87 решил уравнение торгерсона - сообщите, пожалуйста, как!!!!!

[moscwicz]

And87 в сообщении #208777 писал(а):

решить уравнение \delta^*=X X^T

приводим матрицу $ \delta^*$ к диагональному виду ортогональным преобразованием координат.
Обозначим эту диагональную матрицу за $D$.
При этом матрица $X$ перейдет в матрицу $Y$, а уравнение примет вид $D=YY^T$. Подобрать отсюда матрицу $Y$ не проблема, остается вернуться в исходные координаты. Единственности решения, вообще говоря не будет


зы (для двоешников): вот это

Полосин в сообщении #208781 писал(а):

Матрица $\delta^*$ должна быть еще и неотрицательной.

совершенно справедливое замечание

[Евгений Машеров]

0. Матрица $\delta^*$ должна быть неотрицательно определённой (что не означает, что она неотрицательна - неотрицательная матрица это когда все элементы неотрицательны; а у неотрицательно определённой неотрицательны собственные значения, а элементы вправе быть отрицательными)
1. Это задача на нахождение квадратного корня из матрицы. Он, как и другие функции от матриц, может быть найден разложением по собственным векторам и значениям, применением желаемой функции к собственным значениям и домножением на собственные вектора. Поскольку матрица симметрична - тонкостей, возникающих в общем случае, тут нет, все собственные вектора наличествуют.
2. Матрица Х определена с точностью до домножения на ортогональную.