как решить x^x=27 ?

[kkv79]

Ещё в школе придумал уравнение и до сих пор ни кто из моих знакомых не смог его решить.
x^x=27.

[gris]

$x^x=27$

Это уравнение можно решить только численно - подбором.
Хотя можно через логарифмы попробовать.
Но вообще-то $2+7=9$, а корень из 9 будет 3. Может быть так?

Если $x^x=256$, то $x=\sqrt{2\cdot5+6}=4$

[Полосин]

Интересные у вас знакомые... В каких кругах вращаться изволите?

[Xaositect]

kkv79 в сообщении #208428 писал(а):

Ещё в школе придумал уравнение и до сих пор ни кто из моих знакомых не смог его решить.
x^x=27.

Это достаточно просто.

Область определения: $x>0$
при этом $x^x$ имеет минимум в точке $e^{-1}$, слева от него убывает, справа возрастает и имеет в 0 справа предел 1.
Немного подумав, можно понять, что слева от $e^{-1}$ она принимать значение 27 не может, а справа принимает ровно в одной точке. Понятно, в какой

[kkv79]

27 я привёл к примеру....
чтоб понятнее было...
как решить тогда к примеру x^x=5
или x^x = 0,9 - тут будет 2 решения.
как это решить формулами?

>Интересные у вас знакомые... В каких кругах вращаться изволите?
знакомые как знакомые, не математики конечно...
грузил препода по математике в школе и в универе когда учился, оба не смогли решить....

[Xaositect]

kkv79 в сообщении #208488 писал(а):

как это решить формулами?

Можно выразить формулой через вот эту функцию.
Через "обычные" функции выразить формулой не удастся.
Еще можно выразить рядом. Или считать приближенно численными методами.

[gris]

Даже для самого обычного уравнения $x^5-2x^2=5$ нет формулы.

[ASA]

gris писал(а):

Даже для самого обычного уравнения $x^5-2x^2=5$ нет формулы.

Как нет? $x={\rm eklmn(5)}$, где ${\rm eklmn(t)}$ - действительный корень уравнения $x^5-2x^2=t$ при положительном $t$.

[Nxx]

Решением уравнения

$$x^x=a$$

является

$$\frac{\ln (a)}{W(\ln (a))}$$

[kkv79]

а что такое это W ?
мне маткад такое же решение выдавал....
а что за функция такая не понятно...

[AD]

kkv79 в сообщении #208978 писал(а):

а что такое это W ?

Ну Xaositect ссылку давал же. Функция Ламберта.